Номер 306, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

306. Основания прямоугольной трапеции равны 16 см и 10 см, а синус острого угла трапеции равен $ \frac{3}{\sqrt{13}} $. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём тела вращения.

306. Основания прямоугольной трапеции равны 16 см и 10 см, а синус острого угла трапеции равен $\frac{3}{\sqrt{13}}$. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём тела вращения.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. По условию, большее основание $AD = 16$ см, меньшее основание $BC = 10$ см. Острый угол трапеции – это $\angle D$, и его синус равен $\sin(\angle D) = \frac{3}{\sqrt{13}}$.

При вращении трапеции вокруг прямой, содержащей ее большее основание $AD$, образуется тело, состоящее из цилиндра и конуса. Цилиндр образуется вращением прямоугольника $ABCH$, а конус — вращением прямоугольного треугольника $CHD$, где $CH$ — высота трапеции.

Объем этого тела вращения $V$ равен сумме объемов цилиндра ($V_{цил}$) и конуса ($V_{кон}$): $V = V_{цил} + V_{кон} = \pi R^2 h_{цил} + \frac{1}{3} \pi R^2 h_{кон}$.

Найдем необходимые для расчета величины. Радиус вращения $R$ для обеих фигур равен высоте трапеции $h = CH$. Высота цилиндра $h_{цил}$ равна длине меньшего основания: $h_{цил} = AH = BC = 10$ см. Высота конуса $h_{кон}$ равна разности длин оснований: $h_{кон} = HD = AD - AH = 16 - 10 = 6$ см.

Для нахождения высоты трапеции $CH$ (радиуса $R$) воспользуемся данными о синусе острого угла $D$ в прямоугольном треугольнике $CHD$. Найдем косинус угла $D$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\angle D) + \cos^2(\angle D) = 1$: $\cos^2(\angle D) = 1 - \sin^2(\angle D) = 1 - \left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)^2 = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13}$. Так как угол $D$ острый, $\cos(\angle D) = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.

Тангенс угла $D$ равен: $\tan(\angle D) = \frac{\sin(\angle D)}{\cos(\angle D)} = \frac{3/\sqrt{13}}{2/\sqrt{13}} = \frac{3}{2}$.

С другой стороны, в треугольнике $CHD$: $\tan(\angle D) = \frac{CH}{HD} \Rightarrow CH = HD \cdot \tan(\angle D)$. Подставим известные значения: $CH = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$ см.

Таким образом, радиус вращения $R = 9$ см.

Теперь вычислим объемы. Объем цилиндра: $V_{цил} = \pi R^2 h_{цил} = \pi \cdot 9^2 \cdot 10 = 810\pi$ см$^3$. Объем конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 h_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot 6 = 162\pi$ см$^3$.

Суммарный объем тела вращения: $V = V_{цил} + V_{кон} = 810\pi + 162\pi = 972\pi$ см$^3$.

Ответ: $972\pi$ см$^3$.