Номер 310, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

310. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом $\alpha$ при основании. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\gamma$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

310. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом $\alpha$ при основании. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\gamma$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Объем вписанного конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$, где $r$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота. Так как конус вписан в пирамиду, его основание является кругом, вписанным в основание пирамиды, а высота конуса равна высоте пирамиды.

Найдем радиус $r$ основания конуса.

Основание пирамиды – это равнобедренный треугольник, обозначим его ABC, с боковыми сторонами $AB = BC = b$ и углами при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Основание конуса — круг, вписанный в этот треугольник.

Проведем высоту $BM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$ является также медианой и биссектрисой. Из прямоугольного треугольника $ABM$ находим половину основания $AC$: $AM = AB \cdot \cos(\alpha) = b \cos(\alpha)$.

Центр $O$ вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, то есть на высоте $BM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOM$, где $OM$ — это искомый радиус $r$. Так как $AO$ — биссектриса угла $A$, то $\angle OAM = \frac{\alpha}{2}$. Из треугольника $AOM$ получаем соотношение:

$\tan(\angle OAM) = \frac{OM}{AM} \implies \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{b \cos(\alpha)}$

Отсюда выражаем радиус:

$r = b \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Найдем высоту $H$ конуса.

Высота конуса совпадает с высотой пирамиды. Условие равенства всех двугранных углов при ребрах основания ($\gamma$) означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности, то есть в точку $O$. Таким образом, высота пирамиды (и конуса) есть $H = SO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, образованный высотой $SO=H$, радиусом вписанной окружности $OM=r$ и апофемой $SM$ (высотой боковой грани, проведенной к ребру основания $AC$). Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AC$, следовательно, $\angle SMO = \gamma$.

Из прямоугольного треугольника $SOM$ (где $\angle SOM = 90^\circ$) находим $H$:

$\tan(\gamma) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{r}$

Следовательно, $H = r \tan(\gamma)$. Подставив найденное ранее выражение для $r$, получаем:

$H = b \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2}) \tan(\gamma)$.

Вычислим объем конуса $V$.

Подставим найденные выражения для $r$ и $H$ в формулу объема конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$

Так как $H = r \tan(\gamma)$, формулу можно записать как $V = \frac{1}{3}\pi r^3 \tan(\gamma)$.

Подставляем выражение для $r$:

$V = \frac{1}{3}\pi \left( b \cos(\alpha) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right)^3 \tan(\gamma)$

Окончательно получаем:

$V = \frac{1}{3}\pi b^3 \cos^3(\alpha) \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$.

Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi b^3 \cos^3(\alpha) \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$.