Номер 303, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

303. Через две образующие конуса проведено сечение, пересекающее основание по хорде, которая видна из центра основания конуса под углом $120^\circ$. Найдите объём конуса, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол $30^\circ$, а радиус основания конуса равен 18 см.

303. Через две образующие конуса проведено сечение, пересекающее основание по хорде, которая видна из центра основания конуса под углом $120^\circ$. Найдите объём конуса, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол $30^\circ$, а радиус основания конуса равен 18 см.

Для нахождения объёма конуса необходимо знать его высоту $H$ и радиус основания $R$. Радиус основания нам дан по условию: $R = 18$ см. Объём конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Нам нужно найти высоту конуса $H$.

1. Рассмотрим основание конуса.

В основании лежит круг с центром $O$ и радиусом $R=18$ см. Хорда, по которой сечение пересекает основание, видна из центра под углом $120^\circ$. Обозначим концы хорды буквами $A$ и $B$. Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник $AOB$, где $OA = OB = R = 18$ см, а угол $\angle AOB = 120^\circ$.

Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OM$ к хорде $AB$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OM$ является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $\triangle OMA$ — прямоугольный, и $\angle MOA = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Найдем длину отрезка $OM$ из треугольника $OMA$:

$OM = OA \cdot \cos(\angle MOA) = R \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

2. Рассмотрим сечение и найдем высоту конуса.

Пусть $S$ — вершина конуса. Сечение представляет собой треугольник $SAB$. $SM$ — высота этого треугольника, проведенная к основанию $AB$.

Угол между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания конуса — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения (хорде $AB$). Мы уже построили один перпендикуляр — $OM$ в плоскости основания. $SM$ является перпендикуляром к $AB$ в плоскости сечения. Следовательно, угол между плоскостями равен углу $\angle SMO$, и по условию он составляет $30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он является прямоугольным, так как $SO$ — высота конуса и перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любому отрезку в этой плоскости, в том числе $OM$. В этом треугольнике:

• $OM = 9$ см (катет)
• $\angle SMO = 30^\circ$
• $SO = H$ (противолежащий катет, высота конуса)

Найдем высоту $H$ через тангенс угла $\angle SMO$:

$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} \implies SO = OM \cdot \tan(\angle SMO)$

$H = 9 \cdot \tan(30^\circ) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

3. Вычислим объём конуса.

Теперь, зная радиус $R = 18$ см и высоту $H = 3\sqrt{3}$ см, мы можем найти объём конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot (18)^2 \cdot (3\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\pi \cdot 324 \cdot 3\sqrt{3}$

$V = 324\sqrt{3}\pi$ см³.

Ответ: $324\sqrt{3}\pi$ см³.