Номер 314, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

314. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как 2 : 7, его образующая равна $10\sqrt{2}$ см, а угол между нею и плоскостью большего основания равен $45^\circ$. Найдите объём усечённого конуса.

314. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как 2 : 7, его образующая равна $10\sqrt{2}$ см, а угол между нею и плоскостью большего основания равен $45^\circ$. Найдите объём усечённого конуса.

Для нахождения объёма усечённого конуса используется формула:

$V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$, где $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $H$ – высота конуса.

1. Нахождение высоты H и разности радиусов R - r

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Образующая конуса $l$ является боковой стороной этой трапеции. Если провести высоту из вершины меньшего основания на большее, образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза – это образующая $l = 10\sqrt{2}$ см;
• один катет – это высота усечённого конуса $H$;
• второй катет – это разность радиусов оснований $R - r$;
• угол между образующей (гипотенузой) и плоскостью большего основания (катетом $R-r$) равен $45^\circ$.

Поскольку один из острых углов прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то треугольник является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $H = R - r$.

Найдем длину катетов через гипотенузу и синус угла:

$H = l \cdot \sin(45^\circ) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10$ см.

Таким образом, высота конуса $H = 10$ см, и разность радиусов $R - r = 10$ см.

2. Нахождение радиусов R и r

По условию, радиусы оснований относятся как $2:7$. Обозначим радиусы как $r = 2x$ и $R = 7x$.

Подставим эти выражения в полученное ранее равенство $R - r = 10$:

$7x - 2x = 10$

$5x = 10$

$x = 2$

Теперь можем найти точные значения радиусов:

$r = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см.

$R = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.

3. Вычисление объёма усечённого конуса

У нас есть все необходимые данные для формулы объёма: $H = 10$ см, $r = 4$ см, $R = 14$ см.

Подставим их в формулу:

$V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 10 \cdot (14^2 + 14 \cdot 4 + 4^2)$

$V = \frac{10\pi}{3} \cdot (196 + 56 + 16)$

$V = \frac{10\pi}{3} \cdot (268)$

$V = \frac{2680\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{2680\pi}{3}$ см$^3$.