Номер 333, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

333. Площадь поверхности шара равна $30 \text{ см}^2$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного шара.

333. Площадь поверхности шара равна $30 \text{ см}^2$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного шара.

Обозначим радиус шара как $R$. Площадь поверхности шара ($S_{сферы}$) вычисляется по формуле:

$S_{сферы} = 4 \pi R^2$

Согласно условию задачи, $S_{сферы} = 30$ см². Таким образом, мы имеем равенство:

$4 \pi R^2 = 30$

Цилиндр описан около шара. Это означает, что шар касается оснований цилиндра и его боковой поверхности. Из этого следует, что радиус основания цилиндра ($r$) равен радиусу шара ($R$), а высота цилиндра ($h$) равна диаметру шара ($2R$).

$r = R$

$h = 2R$

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{цилиндра}$) равна сумме площади его боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$).

$S_{цилиндра} = S_{бок} + 2 S_{осн}$

Вычислим площадь боковой поверхности и площадь основания цилиндра, выразив их через радиус шара $R$:

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi R (2R) = 4 \pi R^2$.

Площадь одного основания: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi R^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности цилиндра:

$S_{цилиндра} = 4 \pi R^2 + 2(\pi R^2) = 6 \pi R^2$

Мы можем найти соотношение между площадью полной поверхности описанного цилиндра и площадью поверхности вписанного шара:

$\frac{S_{цилиндра}}{S_{сферы}} = \frac{6 \pi R^2}{4 \pi R^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Следовательно, $S_{цилиндра} = \frac{3}{2} S_{сферы}$.

Подставим известное значение площади поверхности шара:

$S_{цилиндра} = \frac{3}{2} \cdot 30 = 45$ см²

Ответ: 45 см²