Номер 5, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Объёмы тел вращения. Площадь сферы

Высота цилиндра равна 8 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $30^{\circ}$. Найдите объём цилиндра.

Образующая конуса равна 10 см, а его высота — 8 см. Найдите объём конуса.

Объем шара равен $36\pi$ $см^3$. Найдите диаметр шара.

В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной 6 см, которую видно из центра верхнего основания под углом $60^{\circ}$, а из центра нижнего основания — под углом $120^{\circ}$. Найдите объём цилиндра.

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 18 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^{\circ}$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Контрольная работа № 5

Тема. Объёмы тел вращения. Площадь сферы

1. Высота цилиндра равна 8 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём цилиндра.

2. Образующая конуса равна 10 см, а его высота — 8 см. Найдите объём конуса.

3. Объем шара равен $36\pi$ см$^3$. Найдите диаметр шара.

4. В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной 6 см, которую видно из центра верхнего основания под углом $60^\circ$, а из центра нижнего основания — под углом $120^\circ$. Найдите объём цилиндра.

5. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 18 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

1.Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота.
Высота $H$ дана и равна 8 см. Нам нужно найти радиус $R$.
Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $H$ и диаметру основания $D = 2R$.
Диагональ этого прямоугольника, его сторона $D$ и сторона $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и плоскостью основания – это угол между диагональю и диаметром $D$, который равен $30^\circ$.
В этом прямоугольном треугольнике высота $H$ является противолежащим катетом к углу $30^\circ$, а диаметр $D$ – прилежащим катетом.Следовательно, мы можем использовать тангенс угла: $\tan(30^\circ) = \frac{H}{D}$.
Отсюда $D = \frac{H}{\tan(30^\circ)} = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ см.
Радиус основания $R = \frac{D}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
Теперь можем найти объём цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 8 = \pi \cdot (16 \cdot 3) \cdot 8 = \pi \cdot 48 \cdot 8 = 384\pi$ см³.
Ответ: $384\pi$ см³.

2.Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота.
Высота $H$ дана и равна 8 см. Нам нужно найти радиус $R$.
Образующая конуса $L$, его высота $H$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ – гипотенуза.
По теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$.
Дано $L = 10$ см и $H = 8$ см. Найдём $R^2$:
$R^2 = L^2 - H^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$ см².
Теперь можем найти объём конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 12 \cdot 8 \cdot \pi = 96\pi$ см³.
Ответ: $96\pi$ см³.

3.Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3} \pi R^3$, где $R$ – радиус шара.
Нам дан объём $V = 36\pi$ см³. Найдём радиус $R$:
$36\pi = \frac{4}{3} \pi R^3$.
Разделим обе части на $\pi$: $36 = \frac{4}{3} R^3$.
Выразим $R^3$: $R^3 = 36 \cdot \frac{3}{4} = 9 \cdot 3 = 27$.
Отсюда $R = \sqrt[3]{27} = 3$ см.
Диаметр шара $D$ равен двум радиусам: $D = 2R = 2 \cdot 3 = 6$ см.
Ответ: 6 см.

4.Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Нам нужно найти радиус основания $R$ и высоту $H$.
1. Найдём радиус $R$.
Рассмотрим нижнее основание. Хорда $AB$ длиной 6 см видна из центра нижнего основания $O_1$ под углом $\angle AO_1B = 120^\circ$. Треугольник $\triangle AO_1B$ равнобедренный ($O_1A = O_1B = R$). По теореме косинусов:
$AB^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(120^\circ)$.
$6^2 = 2R^2 (1 - (-\frac{1}{2})) = 2R^2 (\frac{3}{2}) = 3R^2$.
$36 = 3R^2 \implies R^2 = 12 \implies R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.
2. Найдём высоту $H$.
Хорда $AB$ видна из центра верхнего основания $O_2$ под углом $\angle AO_2B = 60^\circ$. Треугольник $\triangle AO_2B$ равнобедренный ($O_2A = O_2B$). Так как угол при вершине равен $60^\circ$, этот треугольник является равносторонним. Значит, $O_2A = O_2B = AB = 6$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1O_2A$, где катеты – это высота цилиндра $H = O_1O_2$ и радиус основания $R = O_1A$, а гипотенуза – отрезок $O_2A$.
По теореме Пифагора: $(O_2A)^2 = H^2 + R^2$.
$6^2 = H^2 + (2\sqrt{3})^2$.
$36 = H^2 + 12$.
$H^2 = 24 \implies H = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ см.
3. Найдём объём цилиндра.
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 12 \cdot 2\sqrt{6} = 24\pi\sqrt{6}$ см³.
Ответ: $24\pi\sqrt{6}$ см³.

5.Объём вписанного конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота.
1. Найдём радиус основания конуса $r$.
Так как все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Это значит, что в основание (равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Радиус этой окружности будет радиусом основания вписанного конуса.
Для описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a+b=2c$.
$18 + 8 = 2c \implies 26 = 2c \implies c = 13$ см (длина боковой стороны).
Высота трапеции $h_{trap}$ является диаметром вписанной окружности ($h_{trap} = 2r$). Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $c$, высотой $h_{trap}$ и отрезком $(\frac{a-b}{2})$.
$h_{trap} = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - \left(\frac{18-8}{2}\right)^2} = \sqrt{169 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.
Радиус вписанной окружности (и основания конуса) $r = \frac{h_{trap}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
2. Найдём высоту конуса $h$.
Высота конуса совпадает с высотой пирамиды $h=H_{pyr}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H_{pyr}$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой пирамиды. Угол между радиусом и апофемой равен заданному двугранному углу $30^\circ$.
$\tan(30^\circ) = \frac{H_{pyr}}{r} = \frac{h}{r}$.
$h = r \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
3. Найдём объём конуса.
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 2\sqrt{3} = 12 \pi \cdot 2\sqrt{3} = 24\pi\sqrt{3}$ см³.
Ответ: $24\pi\sqrt{3}$ см³.