Номер 2, страница 119 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Тема. Цилиндр. Конус. Усечённый конус.

Комбинации цилиндра, конуса и усечённого конуса с многогранниками

1. Высота цилиндра равна 8 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите радиус основания цилиндра.

2. Высота конуса равна 6 см, а образующая — 10 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 10 см, а высота — 24 см. Найдите образующую усечённого конуса.

4. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, которое пересекает его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $\alpha$, $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Угол между диагональю сечения и образующей цилиндра равен $\beta$, а радиус основания цилиндра равен $R$. Найдите площадь сечения.

5. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 18 см, а диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

6. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Контрольная работа № 2

Тема. Цилиндр. Конус. Усечённый конус.

Комбинации цилиндра, конуса и усечённого конуса

с многогранниками

1. Высота цилиндра равна 8 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите радиус основания цилиндра.

2. Высота конуса равна 6 см, а образующая — 10 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 10 см, а высота — 24 см. Найдите образующую усечённого конуса.

4. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, которое пересекает его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $\alpha$, $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Угол между диагональю сечения и образующей цилиндра равен $\beta$, а радиус основания цилиндра равен $R$. Найдите площадь сечения.

5. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 18 см, а диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

6. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

1.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Его стороны — это высота цилиндра $h$ и диаметр основания $d = 2r$, где $r$ — радиус основания. Диагональ этого прямоугольника, высота $h$ и диаметр $d$ образуют прямоугольный треугольник. По условию, высота $h = 8$ см. Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания — это угол между диагональю и диаметром основания в этом прямоугольном треугольнике, и он равен $30^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$, а диаметр $d$ — прилежащим катетом. Используя тангенс угла, получаем: $\tan(30^\circ) = \frac{h}{d} = \frac{h}{2r}$ Подставим известные значения: $h = 8$ см и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{2r}$ Решим уравнение относительно $r$: $2r = 8\sqrt{3}$ $r = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

2.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса $d = 2r$, боковые стороны равны образующей конуса $l$, а высота треугольника равна высоте конуса $h$. Площадь осевого сечения (треугольника) вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = rh$ Нам даны высота $h = 6$ см и образующая $l = 10$ см. Радиус основания $r$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей конуса, где $l$ — гипотенуза. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$ $10^2 = 6^2 + r^2$ $100 = 36 + r^2$ $r^2 = 100 - 36 = 64$ $r = \sqrt{64} = 8$ см. Теперь можем найти площадь осевого сечения: $S_{сеч} = r \cdot h = 8 \cdot 6 = 48$ см$^2$.

Ответ: $48$ см$^2$.

3.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), высота трапеции равна высоте конуса $h$, а боковые стороны равны образующей $l$. Дано: радиус большего основания $R = 10$ см, радиус меньшего основания $r = 3$ см, высота $h = 24$ см. Чтобы найти образующую $l$, проведём в трапеции высоту из вершины меньшего основания. Эта высота образует прямоугольный треугольник, в котором: - один катет равен высоте усечённого конуса $h = 24$ см; - второй катет равен разности радиусов оснований: $R - r = 10 - 3 = 7$ см; - гипотенуза — это образующая $l$. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R - r)^2$ $l^2 = 24^2 + 7^2$ $l^2 = 576 + 49 = 625$ $l = \sqrt{625} = 25$ см.

Ответ: $25$ см.

4.

Сечение, параллельное оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника — это образующая (или высота) цилиндра $h$, а другая — хорда $c$ в основании. Площадь сечения $S_{сеч} = c \cdot h$. 1. Найдём длину хорды $c$. Хорда стягивает дугу с градусной мерой $\alpha$. В круге основания рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами $R$ и хордой $c$. Угол между радиусами равен центральному углу $\alpha$. По теореме косинусов: $c^2 = R^2 + R^2 - 2R \cdot R \cos\alpha = 2R^2(1 - \cos\alpha)$ Используя формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем: $c = \sqrt{4R^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = 2R\sin(\frac{\alpha}{2})$. 2. Найдём высоту $h$. Диагональ сечения, образующая $h$ и хорда $c$ образуют прямоугольный треугольник. Угол $\beta$ между диагональю и образующей $h$ является одним из острых углов этого треугольника. Хорда $c$ — катет, противолежащий этому углу. Из определения тангенса: $\tan\beta = \frac{c}{h}$ Отсюда $h = \frac{c}{\tan\beta} = c \cdot \cot\beta$. 3. Вычислим площадь сечения: $S_{сеч} = c \cdot h = c \cdot (c \cdot \cot\beta) = c^2 \cot\beta$. Подставим выражение для $c^2$: $S_{сеч} = (2R\sin(\frac{\alpha}{2}))^2 \cot\beta = 4R^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cot\beta$.

Ответ: $4R^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cot\beta$.

5.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок. цил.} = 2\pi r h$, где $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Цилиндр вписан в правильную треугольную призму. Это означает, что высота цилиндра равна высоте призмы ($h_{цил} = h_{призмы}$), а основание цилиндра — это круг, вписанный в основание призмы (правильный треугольник). 1. Найдём высоту призмы $h$. Диагональ боковой грани, сторона основания $a = 18$ см и боковое ребро (высота призмы) $h$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и плоскостью основания — это угол между диагональю и стороной основания $a$, он равен $60^\circ$. $\tan(60^\circ) = \frac{h}{a}$ $h = a \cdot \tan(60^\circ) = 18\sqrt{3}$ см. 2. Найдём радиус $r$ вписанной в основание окружности. Основание — правильный треугольник со стороной $a = 18$ см. Радиус вписанной окружности для правильного треугольника: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см. 3. Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок. цил.} = 2\pi r h = 2\pi (3\sqrt{3})(18\sqrt{3}) = 2\pi \cdot 54 \cdot (\sqrt{3})^2 = 2\pi \cdot 54 \cdot 3 = 324\pi$ см$^2$.

Ответ: $324\pi$ см$^2$.

6.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок. кон.} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания конуса, $l$ — его образующая. Конус описан около пирамиды. Это значит, что основание конуса — это окружность, описанная около основания пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды. Образующая конуса $l$ равна боковому ребру пирамиды. 1. Найдём радиус $R$ основания конуса. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим углом $\alpha$. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы $c$. Найдём гипотенузу: $\cos\alpha = \frac{a}{c}$, отсюда $c = \frac{a}{\cos\alpha}$. Тогда радиус $R = \frac{c}{2} = \frac{a}{2\cos\alpha}$. 2. Найдём образующую конуса $l$. Поскольку все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$, вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания. Боковое ребро (образующая $l$), высота пирамиды $H$ и радиус описанной окружности $R$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол $\beta$ между образующей $l$ и радиусом $R$. В этом треугольнике: $\cos\beta = \frac{R}{l}$, отсюда $l = \frac{R}{\cos\beta}$. 3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок. кон.} = \pi R l = \pi R \left(\frac{R}{\cos\beta}\right) = \frac{\pi R^2}{\cos\beta}$. Подставим выражение для $R$: $S_{бок. кон.} = \frac{\pi}{\cos\beta} \left(\frac{a}{2\cos\alpha}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\cos^2\alpha \cos\beta}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4\cos^2\alpha \cos\beta}$.