Номер 4, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Объёмы многогранников

1. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 13 см, а один из катетов — 12 см. Найдите объём призмы, если её высота равна 5 см.

2. Найдите объём правильной четырёхъугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8 см, а боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол 60°.

3. Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 9 см, а высота — 10 см.

4. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Две боковые грани пирамиды, содержащие данный катет и гипотенузу основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья — наклонена к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

5. В правильной треугольной пирамиде апофема равна $a$, а плоский угол при вершине — $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Контрольная работа № 4

Тема. Объёмы многогранников

1. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 13 см, а один из катетов — 12 см. Найдите объём призмы, если её высота равна 5 см.

2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8 см, а боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол 60°.

3. Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 9 см, а высота — 10 см.

4. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Две боковые грани пирамиды, содержащие данный катет и гипотенузу основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья — наклонена к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

5. В правильной треугольной пирамиде апофема равна $a$, а плоский угол при вершине — $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.
1. Найдём площадь основания. Основание — прямоугольный треугольник. Пусть его катеты $a$ и $b$, а гипотенуза $c$. По условию $c = 13$ см, один из катетов (пусть $a_{leg}$) равен 12 см. По теореме Пифагора найдём второй катет $b_{leg}$:
$a_{leg}^2 + b_{leg}^2 = c^2$
$12^2 + b_{leg}^2 = 13^2$
$144 + b_{leg}^2 = 169$
$b_{leg}^2 = 169 - 144 = 25$
$b_{leg} = 5$ см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} a_{leg} \cdot b_{leg} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см².
2. Найдём объём призмы. Высота призмы $H = 5$ см.
$V = S_{осн} \cdot H = 30 \cdot 5 = 150$ см³.

Ответ: $150$ см³.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
1. Найдём площадь основания. Так как пирамида правильная четырёхугольная, её основание — квадрат. Сторона основания $a = 8$ см.
$S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64$ см².
2. Найдём высоту пирамиды $H$. Высота правильной пирамиды проецируется в центр основания (точку пересечения диагоналей квадрата). Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на основание. Проекцией бокового ребра является половина диагонали квадрата.
Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.
Половина диагонали (проекция бокового ребра) $R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, половиной диагонали основания $R$ и боковым ребром. $R$ — катет, прилежащий к углу $60°$, а $H$ — противолежащий катет.
$H = R \cdot \tan(60°) = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6}$ см.
3. Найдём объём пирамиды.
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 4\sqrt{6} = \frac{256\sqrt{6}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{256\sqrt{6}}{3}$ см³.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} H (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$, где $H$ — высота, $S_1$ и $S_2$ — площади оснований.
1. Найдём площади оснований. Так как пирамида правильная треугольная, её основания — равносторонние треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Сторона большего основания $a_1 = 9$ см. Его площадь:
$S_1 = \frac{9^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².
Сторона меньшего основания $a_2 = 6$ см. Его площадь:
$S_2 = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².
2. Найдём среднее геометрическое площадей:
$\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{\frac{81\sqrt{3}}{4} \cdot 9\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{81 \cdot 9 \cdot 3}{4}} = \frac{\sqrt{81} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{2}$ — эта запись некорректна. Правильно так: $\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{\frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a_2^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{a_1 a_2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \cdot 6 \sqrt{3}}{4} = \frac{54\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{2}$ см².
3. Найдём объём усечённой пирамиды. Высота $H = 10$ см.
$V = \frac{1}{3} \cdot 10 \left( \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{27\sqrt{3}}{2} + 9\sqrt{3} \right)$.
Приведём слагаемые в скобках к общему знаменателю 4:
$V = \frac{10}{3} \left( \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{54\sqrt{3}}{4} + \frac{36\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{10}{3} \left( \frac{(81+54+36)\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{10}{3} \cdot \frac{171\sqrt{3}}{4}$.
Сократим: $171$ делится на $3$ ($171 = 3 \cdot 57$), $10$ и $4$ делятся на $2$.
$V = \frac{10 \cdot 57\sqrt{3}}{4} = \frac{5 \cdot 57\sqrt{3}}{2} = \frac{285\sqrt{3}}{2}$ см³.

Ответ: $\frac{285\sqrt{3}}{2}$ см³.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.
1. Проанализируем условие. Пусть основание пирамиды — прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катет $BC=a$ и противолежащий ему угол $\angle BAC = \alpha$. Две боковые грани, содержащие катет $BC$ и гипотенузу $AB$, перпендикулярны плоскости основания. Это означает, что их общее ребро перпендикулярно плоскости основания. Этим ребром является боковое ребро, выходящее из вершины $B$. Пусть вершина пирамиды $S$, тогда ребро $SB$ является высотой пирамиды $H$.
2. Найдём площадь основания. В прямоугольном треугольнике $ABC$:$AC = \frac{BC}{\tan(\alpha)} = \frac{a}{\tan(\alpha)} = a \cot(\alpha)$.
Площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cot(\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \cot(\alpha)$.
3. Найдём высоту пирамиды $H=SB$. Третья боковая грань $SAC$ наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Угол между плоскостями $SAC$ и $ABC$ — это двугранный угол при ребре $AC$. Его линейной мерой является угол $\angle SCB$. Это следует из теоремы о трёх перпендикулярах: $SB \perp (ABC)$ (высота), $SC$ — наклонная, $BC$ — её проекция. Так как $BC \perp AC$ (по условию $\angle C = 90^\circ$), то и наклонная $SC \perp AC$. Таким образом, $\angle SCB = \beta$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SBC$ (прямой угол $B$, так как $SB \perp BC$): $H = SB = BC \cdot \tan(\angle SCB) = a \tan(\beta)$.
4. Найдём объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} a^2 \cot(\alpha)\right) \cdot (a \tan(\beta)) = \frac{1}{6} a^3 \cot(\alpha) \tan(\beta)$.

Ответ: $\frac{1}{6} a^3 \cot(\alpha) \tan(\beta)$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.
1. Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник. Апофема $SM=a$ (где $M$ — середина стороны $BC$). Плоский угол при вершине $\angle BSC = \alpha$.
2. Найдём сторону основания $x=BC$. В равнобедренном треугольнике $BSC$ апофема $SM$ является высотой и биссектрисой. Значит, $\angle MSC = \alpha/2$. В прямоугольном треугольнике $SMC$: $MC = SM \cdot \tan(\angle MSC) = a \tan(\frac{\alpha}{2})$.
Сторона основания $x = BC = 2 \cdot MC = 2a \tan(\frac{\alpha}{2})$.
3. Найдём площадь основания: $S_{осн} = \frac{x^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2a \tan(\frac{\alpha}{2}))^2 \sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3} \tan^2(\frac{\alpha}{2})$.
4. Найдём высоту пирамиды $H=SO$ (где $O$ — центр основания). $OM$ — радиус вписанной в основание окружности.
$OM = \frac{x\sqrt{3}}{6} = \frac{2a \tan(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \tan(\frac{\alpha}{2})$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. По теореме Пифагора: $H^2 = SM^2 - OM^2$.
$H^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3} \tan(\frac{\alpha}{2})\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} \tan^2(\frac{\alpha}{2}) = a^2\left(1 - \frac{1}{3}\tan^2(\frac{\alpha}{2})\right)$.
$H = a \sqrt{1 - \frac{1}{3}\tan^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{\sqrt{3}}\sqrt{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}$.
5. Найдём объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(a^2\sqrt{3} \tan^2(\frac{\alpha}{2})\right) \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\sqrt{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}\right)$.
$V = \frac{1}{3} a^3 \tan^2(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $\frac{a^3}{3} \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{3 - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$.