Номер 5, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Объёмы тел вращения. Площадь сферы

1. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём цилиндра.

2. Образующая конуса равна 13 см, а радиус основания — 5 см. Найдите объём конуса.

3. Площадь поверхности шара равна $144\pi$ см². Найдите диаметр шара.

4. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра нижнего основания под углом 90°, а из центра верхнего основания — под углом 60°. Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен 8 см.

5. Основанием пирамиды является ромб, диагонали которого равны 30 см и 40 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 60°. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Контрольная работа № 5

Тема. Объёмы тел вращения. Площадь сферы

1. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём цилиндра.

2. Образующая конуса равна 13 см, а радиус основания — 5 см. Найдите объём конуса.

3. Площадь поверхности шара равна $144\pi$ см$^2$. Найдите диаметр шара.

4. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра нижнего основания под углом $90^\circ$, а из центра верхнего основания — под углом $60^\circ$. Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен 8 см.

5. Основанием пирамиды является ромб, диагонали которого равны 30 см и 40 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота. По условию, радиус основания $R = 6$ см. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания $D = 2R$, а другая — высоте цилиндра $H$. Диагональ этого прямоугольника образует с плоскостью основания угол $60^\circ$.

Найдём диаметр основания: $D = 2R = 2 \times 6 = 12$ см. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, диаметром $D$ и диагональю осевого сечения, отношение высоты к диаметру равно тангенсу угла между диагональю и основанием: $\tan(60^\circ) = \frac{H}{D}$.

Отсюда находим высоту: $H = D \times \tan(60^\circ) = 12 \times \sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить объём цилиндра: $V = \pi R^2 H = \pi \times 6^2 \times 12\sqrt{3} = \pi \times 36 \times 12\sqrt{3} = 432\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $432\pi\sqrt{3}$ см³.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота. По условию, образующая $l = 13$ см, а радиус основания $R = 5$ см.

Высота конуса $H$, радиус $R$ и образующая $l$ связаны теоремой Пифагора: $l^2 = R^2 + H^2$. Найдём высоту: $H^2 = l^2 - R^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$. Следовательно, $H = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь вычислим объём конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \times 5^2 \times 12 = \frac{1}{3}\pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ см³.

Ответ: $100\pi$ см³.

Площадь поверхности шара (сферы) вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус шара. По условию, $S = 144\pi$ см².

Приравняем и найдём радиус: $4\pi R^2 = 144\pi$. Разделим обе части на $4\pi$: $R^2 = \frac{144\pi}{4\pi} = 36$. Отсюда $R = \sqrt{36} = 6$ см.

Диаметр шара $D$ в два раза больше радиуса: $D = 2R = 2 \times 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

Объём цилиндра равен $V = \pi R^2 H$. По условию, радиус основания $R=8$ см. Нам нужно найти высоту $H$.

Пусть хорда в нижнем основании — это $AB$. Центр нижнего основания — $O_1$, центр верхнего — $O_2$. В нижнем основании имеем равнобедренный треугольник $\triangle AO_1B$ с боковыми сторонами $O_1A=O_1B=R=8$ см и углом при вершине $\angle AO_1B = 90^\circ$. По теореме Пифагора для этого треугольника, длина хорды $AB^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$, следовательно $AB = R\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Из центра верхнего основания $O_2$ хорда $AB$ видна под углом $60^\circ$. Это означает, что в равнобедренном треугольнике $\triangle AO_2B$ угол при вершине $\angle AO_2B = 60^\circ$. Следовательно, этот треугольник равносторонний, и $O_2A = O_2B = AB = 8\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1O_2A$. Его катеты — это высота цилиндра $H = O_1O_2$ и радиус основания $R = O_1A = 8$ см. Гипотенуза — это отрезок $O_2A = 8\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора: $O_2A^2 = H^2 + R^2$.

Подставляем известные значения: $(8\sqrt{2})^2 = H^2 + 8^2 \Rightarrow 128 = H^2 + 64 \Rightarrow H^2 = 64 \Rightarrow H = 8$ см.

Находим объём цилиндра: $V = \pi R^2 H = \pi \times 8^2 \times 8 = \pi \times 64 \times 8 = 512\pi$ см³.

Ответ: $512\pi$ см³.

Основанием пирамиды является ромб с диагоналями $d_1 = 30$ см и $d_2 = 40$ см. Объём вписанного конуса находится по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 H$, где $r$ — радиус основания конуса (равный радиусу вписанной в ромб окружности), а $H$ — высота конуса (равная высоте пирамиды).

Найдём площадь основания (ромба): $S_{ромба} = \frac{1}{2}d_1d_2 = \frac{1}{2} \times 30 \times 40 = 600$ см².

Найдём сторону ромба $a$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$. Отсюда $a = \sqrt{625} = 25$ см.

Радиус $r$ вписанной в ромб окружности можно найти из формулы площади $S_{ромба} = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр. Полупериметр $p = \frac{4a}{2} = 2a = 2 \times 25 = 50$ см. Тогда $r = \frac{S_{ромба}}{p} = \frac{600}{50} = 12$ см. Это радиус основания вписанного конуса.

Так как все двугранные углы при рёбрах основания равны $60^\circ$, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности (точку пересечения диагоналей ромба). Высоту пирамиды $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, где катетами являются высота $H$ и радиус вписанной окружности $r$, а угол, противолежащий катету $H$, равен $60^\circ$.

$\tan(60^\circ) = \frac{H}{r} \Rightarrow H = r \times \tan(60^\circ) = 12 \times \sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см. Это высота конуса.

Теперь вычислим объём конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \times 12^2 \times 12\sqrt{3} = \frac{1}{3}\pi \times 144 \times 12\sqrt{3} = 576\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $576\pi\sqrt{3}$ см³.