Итоговая контрольная, страница 117 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Итоговая контрольная работа

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Даны точки $A(-6; 2; 8)$, $B(-2; 5; 9)$, $C(2; 3; -1)$ и $D(3; -3; 13)$. Докажите, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCD$.

2. Через вершину конуса проведена плоскость под углом $\alpha$ к плоскости основания. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра основания под углом $\beta$ и расстояние до которой от центра основания равно $d$. Найдите площадь сечения конуса данной плоскостью.

3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $m$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

4. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание равнобедренного треугольника, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите:

1) объём призмы;

2) площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы.

5. Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого образует с его диагональю угол $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды, если радиус описанной около неё сферы равен $R$.

Итоговая контрольная работа

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Даны точки A $(-6; 2; 8)$, B $(-2; 5; 9)$, C $(2; 3; -1)$ и D $(3; -3; 13)$. Докажите, что прямая AB перпендикулярна плоскости BCD.

2. Через вершину конуса проведена плоскость под углом $\alpha$ к плоскости основания. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра основания под углом $\beta$ и расстояние до которой от центра основания равно $d$. Найдите площадь сечения конуса данной плоскостью.

3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $m$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

4. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание равнобедренного треугольника, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите:

1) объём призмы;

2) площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы.

5. Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого образует с его диагональю угол $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды, если радиус описанной около неё сферы равен $R$.

1.

Чтобы доказать, что прямая AB перпендикулярна плоскости BCD, необходимо доказать, что она перпендикулярна двум любым неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$ по координатам точек $A(-6; 2; 8)$, $B(-2; 5; 9)$, $C(2; 3; -1)$ и $D(3; -3; 13)$:

• $\vec{AB} = \{-2 - (-6); 5 - 2; 9 - 8\} = \{4; 3; 1\}$
• $\vec{BC} = \{2 - (-2); 3 - 5; -1 - 9\} = \{4; -2; -10\}$
• $\vec{BD} = \{3 - (-2); -3 - 5; 13 - 9\} = \{5; -8; 4\}$

2. Проверим, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны. Для этого проверим пропорциональность их координат:

$\frac{4}{5} \neq \frac{-2}{-8} \neq \frac{-10}{4}$

Поскольку координаты не пропорциональны, векторы не коллинеарны.

3. Найдем скалярное произведение вектора $\vec{AB}$ на векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.

• $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + 1 \cdot (-10) = 16 - 6 - 10 = 0$. Следовательно, $\vec{AB} \perp \vec{BC}$.
• $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = 4 \cdot 5 + 3 \cdot (-8) + 1 \cdot 4 = 20 - 24 + 4 = 0$. Следовательно, $\vec{AB} \perp \vec{BD}$.

Так как прямая AB перпендикулярна двум неколлинеарным прямым BC и BD в плоскости BCD, то прямая AB перпендикулярна плоскости BCD. Что и требовалось доказать.

2.

Пусть S — вершина конуса, O — центр основания. Секущая плоскость проходит через S и пересекает основание по хорде AB. Площадь сечения — это площадь треугольника SAB. Обозначим искомую величину $S_{сеч}$.

Площадь сечения можно найти через площадь его ортогональной проекции на плоскость основания. Проекцией вершины S на плоскость основания является центр O. Проекцией сечения (треугольника SAB) на плоскость основания является треугольник OAB. Связь между площадью фигуры и площадью её проекции выражается формулой:

$S_{OAB} = S_{сеч} \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Отсюда $S_{сеч} = \frac{S_{OAB}}{\cos\alpha}$.

Найдем площадь треугольника OAB. Треугольник OAB — равнобедренный ($OA=OB=R$, где $R$ - радиус основания конуса). Хорда AB видна из центра O под углом $\beta$, то есть $\angle AOB = \beta$. Расстояние от центра O до хорды AB равно $d$. Пусть M — середина хорды AB. Тогда OM — высота треугольника OAB, и $OM = d$.

В прямоугольном треугольнике OMA ($\angle OMA = 90^\circ$):

$\angle AOM = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Сторону AM можно найти из этого треугольника: $AM = OM \cdot \tan(\angle AOM) = d \cdot \tan(\frac{\beta}{2})$.

Длина хорды $AB = 2 \cdot AM = 2d \tan(\frac{\beta}{2})$.

Площадь треугольника OAB:

$S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OM = \frac{1}{2} \cdot (2d \tan(\frac{\beta}{2})) \cdot d = d^2 \tan(\frac{\beta}{2})$.

Теперь можем найти площадь сечения:

$S_{сеч} = \frac{S_{OAB}}{\cos\alpha} = \frac{d^2 \tan(\frac{\beta}{2})}{\cos\alpha}$.

Ответ: $S_{сеч} = \frac{d^2 \tan(\frac{\beta}{2})}{\cos\alpha}$.

3.

Пусть SABC — правильная треугольная пирамида. В основании лежит равносторонний треугольник ABC, а вершина S проецируется в его центр O. Боковое ребро $SA = m$. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром SA и его проекцией AO, то есть $\angle SAO = \alpha$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $H=SO$ — высота пирамиды, а $S_{осн}$ — площадь основания.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA ($\angle SOA = 90^\circ$):

• Высота пирамиды: $H = SO = SA \cdot \sin(\angle SAO) = m \sin\alpha$.
• Проекция бокового ребра на основание: $AO = SA \cdot \cos(\angle SAO) = m \cos\alpha$.

2. AO является радиусом $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC. Связь между радиусом описанной окружности и стороной $a$ равностороннего треугольника: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Отсюда найдем сторону основания $a$:

$a = R\sqrt{3} = AO\sqrt{3} = m\sqrt{3}\cos\alpha$.

3. Найдем площадь основания $S_{осн}$ (площадь равностороннего треугольника со стороной $a$):

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(m\sqrt{3}\cos\alpha)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3m^2\cos^2\alpha\sqrt{3}}{4}$.

4. Вычислим объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}m^2\cos^2\alpha}{4} \cdot (m\sin\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{4} m^3 \sin\alpha \cos^2\alpha$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{4} m^3 \sin\alpha \cos^2\alpha$.

4.

Пусть $ABCA'B'C'$ — прямая призма, в основании которой лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и углами при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Боковая грань $ACC'A'$ содержит основание AC. Диагональ этой грани $AC' = d$ наклонена к плоскости основания под углом $\beta$, то есть $\angle C'AC = \beta$.

1) объём призмы

Объём призмы $V = S_{осн} \cdot H$.

1. Из прямоугольного треугольника $ACC'$ ($\angle ACC' = 90^\circ$):

• Высота призмы: $H = CC' = AC' \sin\beta = d \sin\beta$.
• Основание треугольника ABC: $AC = AC' \cos\beta = d \cos\beta$.

2. Найдем площадь основания $S_{осн}$. Проведем в треугольнике ABC высоту BM к основанию AC. Так как треугольник равнобедренный, BM также является медианой, $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{d \cos\beta}{2}$.

Из прямоугольного треугольника ABM ($\angle AMB = 90^\circ$):

$BM = AM \tan(\angle BAM) = \frac{d \cos\beta}{2} \tan\alpha$.

Площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BM = \frac{1}{2} (d \cos\beta) \left(\frac{d \cos\beta}{2} \tan\alpha\right) = \frac{d^2 \cos^2\beta \tan\alpha}{4}$.

3. Вычислим объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{d^2 \cos^2\beta \tan\alpha}{4}\right) (d \sin\beta) = \frac{d^3 \sin\beta \cos^2\beta \tan\alpha}{4}$.

Ответ: $V = \frac{d^3 \sin\beta \cos^2\beta \tan\alpha}{4}$.

2) площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок.цил.} = 2\pi R H$, где $R$ — радиус окружности, описанной около основания призмы, а $H$ — высота призмы (и цилиндра).

1. Высота $H = d\sin\beta$ найдена ранее.

2. Найдем радиус $R$ описанной окружности треугольника ABC. Воспользуемся теоремой синусов: $2R = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$.

Угол при вершине B: $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$.

$\sin(\angle ABC) = \sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$.

Сторона $AC = d\cos\beta$.

$2R = \frac{d\cos\beta}{\sin(2\alpha)} \Rightarrow R = \frac{d\cos\beta}{2\sin(2\alpha)}$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок.цил.} = 2\pi R H = 2\pi \left(\frac{d\cos\beta}{2\sin(2\alpha)}\right) (d\sin\beta) = \frac{\pi d^2 \cos\beta \sin\beta}{\sin(2\alpha)}$.

Используя формулу синуса двойного угла, можно записать: $\cos\beta \sin\beta = \frac{1}{2}\sin(2\beta)$.

$S_{бок.цил.} = \frac{\pi d^2 \sin(2\beta)}{2\sin(2\alpha)}$.

Ответ: $S_{бок.цил.} = \frac{\pi d^2 \sin(2\beta)}{2\sin(2\alpha)}$.

5.

Пусть S-ABCD — пирамида, в основании которой лежит прямоугольник ABCD. Пусть сторона AB образует с диагональю AC угол $\alpha$, то есть $\angle BAC = \alpha$.

Так как все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$, то вершина пирамиды S проецируется в центр описанной окружности основания. Для прямоугольника это точка пересечения диагоналей O. Таким образом, SO — высота пирамиды $H$, а угол наклона ребра — это $\angle SAO = \beta$.

Радиус описанной около пирамиды сферы равен $R$. Центр этой сферы лежит на высоте SO.

1. Свяжем радиус сферы $R$ с параметрами пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через диагональ основания AC и вершину S. Это сечение — треугольник SAC, вписанный в большую окружность сферы радиуса $R$.

По теореме синусов для треугольника SAC: $\frac{AC}{\sin(\angle ASC)} = 2R$.

В равнобедренном треугольнике SAC ($SA=SC$) высота SO является и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике SOA: $\angle ASO = 90^\circ - \angle SAO = 90^\circ - \beta$. Тогда $\angle ASC = 2\angle ASO = 2(90^\circ - \beta) = 180^\circ - 2\beta$.

$\sin(\angle ASC) = \sin(180^\circ - 2\beta) = \sin(2\beta)$.

Тогда $\frac{AC}{ \sin(2\beta)} = 2R$, откуда диагональ основания $d_{осн} = AC = 2R\sin(2\beta)$.

2. Найдем стороны прямоугольника ABCD, его площадь и высоту пирамиды.

Из прямоугольного треугольника ABC:

• $AB = AC \cos\alpha = 2R\sin(2\beta)\cos\alpha$.
• $BC = AC \sin\alpha = 2R\sin(2\beta)\sin\alpha$.

Площадь основания:

• $S_{осн} = AB \cdot BC = (2R\sin(2\beta))^2 \cos\alpha\sin\alpha = 4R^2\sin^2(2\beta) \frac{\sin(2\alpha)}{2} = 2R^2\sin^2(2\beta)\sin(2\alpha)$.

Из прямоугольного треугольника SOA:

• $OA = \frac{AC}{2} = R\sin(2\beta)$.
• $H = SO = OA \tan\beta = R\sin(2\beta)\tan\beta$.

3. Вычислим объём пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

$V = \frac{1}{3} \cdot (2R^2\sin^2(2\beta)\sin(2\alpha)) \cdot (R\sin(2\beta)\tan\beta) = \frac{2}{3} R^3 \sin^3(2\beta)\sin(2\alpha)\tan\beta$.

Ответ: $V = \frac{2}{3} R^3 \sin^3(2\beta)\sin(2\alpha)\tan\beta$.