Номер 2, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Тема. Цилиндр. Конус. Усечённый конус.

Комбинации цилиндра, конуса и усечённого конуса с многогранниками

1. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите высоту цилиндра.

2. Радиус основания конуса равен 5 см, а образующая — 13 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 6 см и 14 см, а образующая — 17 см. Найдите высоту усечённого конуса.

4. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, которое пересекает его нижнее основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $\alpha$, $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину этой хорды, равен $d$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь сечения.

5. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 12 см, а диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

6. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Контрольная работа № 2

Тема. Цилиндр. Конус. Усечённый конус.

Комбинации цилиндра, конуса и усечённого конуса

с многогранниками

1. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите высоту цилиндра.

2. Радиус основания конуса равен 5 см, а образующая — 13 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 6 см и 14 см, а образующая — 17 см. Найдите высоту усечённого конуса.

4. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, которое пересекает его нижнее основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $\alpha$, $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину этой хорды, равен $d$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь сечения.

5. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 12 см, а диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

6. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

1. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $H$ и диаметру основания $D$. Диагональ этого прямоугольника, его сторона, равная диаметру, и сторона, равная высоте, образуют прямоугольный треугольник.
Диаметр основания $D$ равен двум радиусам: $D = 2R = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и диаметром основания. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике этот угол равен $60^\circ$. Высота $H$ является катетом, противолежащим этому углу, а диаметр $D$ — катетом, прилежащим к нему.
Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:
$\tan(60^\circ) = \frac{H}{D}$
Отсюда находим высоту $H$:
$H = D \cdot \tan(60^\circ) = 12 \cdot \sqrt{3}$ см.
Ответ: $12\sqrt{3}$ см.

2. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $D$, а боковые стороны равны образующей конуса $L$.
Диаметр основания конуса: $D = 2R = 2 \cdot 5 = 10$ см.
Боковые стороны треугольника (образующие): $L = 13$ см.
Для нахождения площади этого треугольника $S_{сеч}$ нам нужна его высота, которая совпадает с высотой конуса $H$.
Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:
$H^2 + R^2 = L^2$
$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.
Площадь осевого сечения (треугольника) равна:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².
Ответ: $60$ см².

3. Осевое сечение усечённого конуса — это равнобокая трапеция. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, боковые стороны равны образующей $L$, а высота трапеции равна высоте усечённого конуса $H$.
Радиусы оснований: $r = 6$ см и $R = 14$ см. Образующая $L = 17$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, образующей $L$ и отрезком на большем основании, равным разности радиусов $R - r$. В этом треугольнике $L$ является гипотенузой.
По теореме Пифагора:
$H^2 + (R - r)^2 = L^2$
$H^2 + (14 - 6)^2 = 17^2$
$H^2 + 8^2 = 17^2$
$H^2 + 64 = 289$
$H^2 = 289 - 64 = 225$
$H = \sqrt{225} = 15$ см.
Ответ: $15$ см.

4. Сечение является прямоугольником. Обозначим его стороны как $a$ (длина хорды в основании) и $h$ (высота цилиндра). Площадь сечения $S = a \cdot h$.
Рассмотрим основание цилиндра. Пусть $R$ — радиус основания, $O$ — его центр. Хорда $a$ стягивает дугу $\alpha$. Расстояние от центра основания до этой хорды (пусть это будет отрезок $OK$, где $K$ — середина хорды) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $R$, половиной хорды $a/2$ и отрезком $OK$. Центральный угол, опирающийся на хорду, равен $\alpha$. Тогда угол между радиусом и отрезком $OK$ равен $\alpha/2$.
Длина половины хорды: $a/2 = R \sin(\frac{\alpha}{2})$, следовательно, $a = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$.
Расстояние от центра до хорды: $OK = R \cos(\frac{\alpha}{2})$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $d$, высотой цилиндра $h$ и отрезком $OK$. Пусть $O'$ — центр верхнего основания. Нам дан отрезок $O'K$ длиной $d$ и угол $\beta = \angle O'KO$, который он образует с плоскостью основания.
В прямоугольном треугольнике $O'OK$ (прямой угол при $O$):
Высота цилиндра $h = O'O = d \sin(\beta)$.
Проекция отрезка на основание $OK = d \cos(\beta)$.
Приравняем два выражения для $OK$:
$R \cos(\frac{\alpha}{2}) = d \cos(\beta) \implies R = \frac{d \cos(\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.
Теперь найдем длину хорды $a$:
$a = 2R \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2 \frac{d \cos(\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2d \cos(\beta) \tan(\frac{\alpha}{2})$.
Наконец, находим площадь сечения $S$:
$S = a \cdot h = \left(2d \cos(\beta) \tan(\frac{\alpha}{2})\right) \cdot (d \sin(\beta)) = 2d^2 \sin(\beta)\cos(\beta) \tan(\frac{\alpha}{2})$.
Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\beta)\cos(\beta) = \sin(2\beta)$, получаем:
$S = d^2 \sin(2\beta) \tan(\frac{\alpha}{2})$.
Ответ: $d^2 \sin(2\beta) \tan(\frac{\alpha}{2})$.

5. Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат. Сторона основания $a = 12$ см.
Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Это угол между диагональю и стороной основания. Пусть высота призмы равна $H$. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю боковой грани, высотой призмы $H$ и стороной основания $a$, имеем:
$\tan(30^\circ) = \frac{H}{a}$
$H = a \cdot \tan(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.
В призму вписан цилиндр. Это означает, что основания цилиндра вписаны в основания призмы, а высота цилиндра равна высоте призмы.
Основание цилиндра — круг, вписанный в квадрат со стороной $a=12$ см. Радиус этого круга $R$ равен половине стороны квадрата:
$R = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Высота цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы: $H_{цил} = H = 4\sqrt{3}$ см.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2\pi R H_{цил} = 2\pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 48\pi\sqrt{3}$ см².
Ответ: $48\pi\sqrt{3}$ см².

6. Около пирамиды описан конус. Это означает, что вершина у них общая, а основание конуса является окружностью, описанной около основания пирамиды.
Площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, $L$ — его образующая.
Радиус основания конуса $R$ — это радиус окружности, описанной около треугольника в основании пирамиды.
Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащими к нему углами $\alpha$. Угол, противолежащий основанию $a$, равен $180^\circ - 2\alpha$.
По следствию из теоремы синусов, радиус описанной окружности $R$ равен:
$R = \frac{a}{2\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{a}{2\sin(2\alpha)}$.
По условию, каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания. Боковые ребра пирамиды равны и являются образующими конуса ($L$).
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей $L$. Угол между образующей $L$ и радиусом $R$ (её проекцией на основание) равен $\beta$.
Из этого треугольника находим образующую $L$:
$\cos(\beta) = \frac{R}{L} \implies L = \frac{R}{\cos(\beta)}$.
Подставим выражение для $R$:
$L = \frac{a}{2\sin(2\alpha)\cos(\beta)}$.
Теперь находим площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \left(\frac{a}{2\sin(2\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{a}{2\sin(2\alpha)\cos(\beta)}\right) = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(2\alpha)\cos(\beta)}$.
Ответ: $\frac{\pi a^2}{4\sin^2(2\alpha)\cos(\beta)}$.