Номер 1, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Координаты и векторы в пространстве

1. Даны точки $M (3; -2; 1)$ и $N (5; 2; -3)$. Найдите координаты середины отрезка $MN$ и его длину.

2. Точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $C$. Найдите координаты точки $B$, если $A (-2; -4; 1)$, $C (1; 3; 2).

3. Даны векторы $\vec{a} (5; -3; -4)$ и $\vec{b} (-1; 3; -1)$. Найдите:

1) координаты вектора $\vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$;

2) косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

4. Даны векторы $\vec{a} (-2; 8; -4)$ и $\vec{b} (1; -4; k)$. При каком значении $k$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) коллинеарны;

2) перпендикулярны?

5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной прямой $AB$, если $A (-3; 1; 2)$, $B (2; 4; -3)$.

6. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1 см. На отрезке $B_1D_1$ отметили точку $E$ так, что $B_1E : ED_1 = 3 : 2$.

1) Выразите вектор $\vec{CE}$ через векторы $\vec{CD}$, $\vec{CB}$ и $\vec{CC_1}$.

2) Найдите модуль вектора $\vec{CE}$.

Контрольная работа № 1

Тема. Координаты и векторы в пространстве

1. Даны точки $M$ (3; -2; 1) и $N$ (5; 2; -3). Найдите координаты середины отрезка $MN$ и его длину.

2. Точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $C$. Найдите координаты точки $B$, если $A$ (-2; -4; 1), $C$ (1; 3; 2).

3. Даны векторы $\vec{a}$ (5; -3; -4) и $\vec{b}$ (-1; 3; -1). Найдите:

1) координаты вектора $\vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$;

2) косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

4. Даны векторы $\vec{a}$ (-2; 8; -4) и $\vec{b}$ (1; -4; $k$). При каком значении $k$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) коллинеарны;

2) перпендикулярны?

5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной прямой $AB$, если $A$ (-3; 1; 2), $B$ (2; 4; -3).

6. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1 см.

На отрезке $B_1D_1$ отметили точку $E$ так, что $B_1E : ED_1 = 3 : 2$.

1) Выразите вектор $\vec{CE}$ через векторы $\vec{CD}$, $\vec{CB}$ и $\vec{CC_1}$.

2) Найдите модуль вектора $\vec{CE}$.

1.

Координаты середины $C(x_c; y_c; z_c)$ отрезка $MN$ вычисляются как среднее арифметическое координат его концов:

$x_c = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_c = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$z_c = \frac{z_M + z_N}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, координаты середины отрезка: $C(4; 0; -1)$.

Длина отрезка $MN$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$|MN| = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2}$

$|MN| = \sqrt{(5 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$

Ответ: Координаты середины отрезка $(4; 0; -1)$, его длина равна $6$.

2.

Если точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $C$, это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $AB$. Пусть координаты точки $B$ равны $(x_B; y_B; z_B)$. Используя формулы для координат середины отрезка, получаем:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} \implies 1 = \frac{-2 + x_B}{2} \implies 2 = -2 + x_B \implies x_B = 4$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2} \implies 3 = \frac{-4 + y_B}{2} \implies 6 = -4 + y_B \implies y_B = 10$

$z_C = \frac{z_A + z_B}{2} \implies 2 = \frac{1 + z_B}{2} \implies 4 = 1 + z_B \implies z_B = 3$

Таким образом, координаты точки $B$ равны $(4; 10; 3)$.

Ответ: $B(4; 10; 3)$.

3.

1) координаты вектора $\vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$

Для нахождения координат вектора $\vec{c}$ выполним операции с векторами $\vec{a}(5; -3; -4)$ и $\vec{b}(-1; 3; -1)$:

$2\vec{a} = 2 \cdot (5; -3; -4) = (10; -6; -8)$

$3\vec{b} = 3 \cdot (-1; 3; -1) = (-3; 9; -3)$

$\vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b} = (10 - (-3); -6 - 9; -8 - (-3)) = (13; -15; -5)$

Ответ: $\vec{c}(13; -15; -5)$.

2) косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Косинус угла $\theta$ между векторами вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot (-1) + (-3) \cdot 3 + (-4) \cdot (-1) = -5 - 9 + 4 = -10$

Найдем модули векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos \theta = \frac{-10}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{11}} = \frac{-2}{\sqrt{22}} = -\frac{2\sqrt{22}}{22} = -\frac{\sqrt{22}}{11}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{22}}{11}$.

4.

Даны векторы $\vec{a}(-2; 8; -4)$ и $\vec{b}(1; -4; k)$.

1) коллинеарны

Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны:

$\frac{-2}{1} = \frac{8}{-4} = \frac{-4}{k}$

Проверим первую часть равенства: $\frac{-2}{1} = -2$ и $\frac{8}{-4} = -2$. Равенство верно. Теперь найдем $k$ из пропорции:

$\frac{-2}{1} = \frac{-4}{k} \implies -2k = -4 \implies k = 2$

Ответ: $k = 2$.

2) перпендикулярны

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

$(-2) \cdot 1 + 8 \cdot (-4) + (-4) \cdot k = 0$

$-2 - 32 - 4k = 0$

$-34 - 4k = 0$

$4k = -34$

$k = -\frac{34}{4} = -\frac{17}{2} = -8.5$

Ответ: $k = -8.5$.

5.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n}(A; B; C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

Плоскость проходит через точку $A(-3; 1; 2)$, следовательно $(x_0; y_0; z_0) = (-3; 1; 2)$.

Плоскость перпендикулярна прямой $AB$, значит, вектор $\vec{AB}$ является нормальным вектором плоскости $\vec{n}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{n} = \vec{AB} = (2 - (-3); 4 - 1; -3 - 2) = (5; 3; -5)$

Подставим координаты точки $A$ и нормального вектора $\vec{n}(5; 3; -5)$ в уравнение плоскости:

$5(x - (-3)) + 3(y - 1) - 5(z - 2) = 0$

$5(x + 3) + 3(y - 1) - 5(z - 2) = 0$

$5x + 15 + 3y - 3 - 5z + 10 = 0$

$5x + 3y - 5z + 22 = 0$

Ответ: $5x + 3y - 5z + 22 = 0$.

6.

Введем систему координат с началом в точке $C(0;0;0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $x$ вдоль $\vec{CD}$, ось $y$ вдоль $\vec{CB}$, ось $z$ вдоль $\vec{CC_1}$. Так как ребро куба равно 1, то $\vec{CD}=(1;0;0)$, $\vec{CB}=(0;1;0)$, $\vec{CC_1}=(0;0;1)$. Эти векторы являются базисными.

Найдем координаты точек $B_1$ и $D_1$:

$\vec{CB_1} = \vec{CB} + \vec{BB_1} = \vec{CB} + \vec{CC_1}$. Координаты $B_1(0; 1; 1)$.

$\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1} = \vec{CD} + \vec{CC_1}$. Координаты $D_1(1; 0; 1)$.

Точка $E$ делит отрезок $B_1D_1$ в отношении $B_1E : ED_1 = 3 : 2$. Для нахождения радиус-вектора $\vec{CE}$ воспользуемся формулой деления отрезка в данном отношении:

$\vec{CE} = \frac{2\vec{CB_1} + 3\vec{CD_1}}{2+3} = \frac{2}{5}\vec{CB_1} + \frac{3}{5}\vec{CD_1}$

1) Выразите вектор $\vec{CE}$ через векторы $\vec{CD}$, $\vec{CB}$ и $\vec{CC_1}$

Подставим выражения для $\vec{CB_1}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{CE} = \frac{2}{5}(\vec{CB} + \vec{CC_1}) + \frac{3}{5}(\vec{CD} + \vec{CC_1})$

$\vec{CE} = \frac{2}{5}\vec{CB} + \frac{2}{5}\vec{CC_1} + \frac{3}{5}\vec{CD} + \frac{3}{5}\vec{CC_1}$

$\vec{CE} = \frac{3}{5}\vec{CD} + \frac{2}{5}\vec{CB} + (\frac{2}{5} + \frac{3}{5})\vec{CC_1} = \frac{3}{5}\vec{CD} + \frac{2}{5}\vec{CB} + \vec{CC_1}$

Ответ: $\vec{CE} = \frac{3}{5}\vec{CD} + \frac{2}{5}\vec{CB} + \vec{CC_1}$.

2) Найдите модуль вектора $\vec{CE}$

Из выражения выше, координаты вектора $\vec{CE}$ в выбранном базисе равны $(\frac{3}{5}; \frac{2}{5}; 1)$.

Модуль вектора $\vec{CE}$ равен длине этого вектора, которую можно найти по его координатам:

$|\vec{CE}| = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{4}{25} + 1} = \sqrt{\frac{13}{25} + \frac{25}{25}} = \sqrt{\frac{38}{25}} = \frac{\sqrt{38}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{38}}{5}$.