Номер 1, страница 118 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2

Контрольная работа № 1

Тема. Координаты, геометрические преобразования

и векторы в пространстве

1. Даны точки A (-6; 5; 3) и B (4; 1; -5). Найдите координаты середины отрезка AB и его длину.

2. Точки C и D симметричны относительно точки M. Найдите координаты точки C, если D (-6; 2; 3), M (3; -2; -5).

3. Даны векторы $\vec{m}$ (7; 1; -2) и $\vec{n}$ (-1; 2; -2). Найдите:

1) координаты вектора $a = 3\vec{m} - 4\vec{n}$;

2) косинус угла между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

4. Даны векторы $\vec{m}$ (1; -4; -3) и $\vec{n}$ (5; p; -15). При каком значении p векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

1) коллинеарны;

2) перпендикулярны?

5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой MK, если M (3; -4; 1), K (6; -8; 3).

6. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1 см.

На отрезке $CD_1$ отметили точку F так, что $CF : FD_1 = 1 : 5$.

1) Выразите вектор $\vec{BF}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$.

2) Найдите модуль вектора $\vec{BF}$.

Вариант 2

Контрольная работа № 1

Тема. Координаты, геометрические преобразования и векторы в пространстве

1. Даны точки $A (-6; 5; 3)$ и $B (4; 1; -5)$. Найдите координаты середины отрезка $AB$ и его длину.

2. Точки $C$ и $D$ симметричны относительно точки $M$. Найдите координаты точки $C$, если $D (-6; 2; 3)$, $M (3; -2; -5)$.

3. Даны векторы $\vec{m} (7; 1; -2)$ и $\vec{n} (-1; 2; -2)$. Найдите:

1) координаты вектора $ \vec{a} = 3\vec{m} - 4\vec{n} $;

2) косинус угла между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

4. Даны векторы $\vec{m} (1; -4; -3)$ и $\vec{n} (5; p; -15)$. При каком значении $p$ векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

1) коллинеарны;

2) перпендикулярны?

5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $MK$, если $M (3; -4; 1)$, $K (6; -8; 3)$.

6. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1 см. На отрезке $CD_1$ отметили точку $F$ так, что $CF : FD_1 = 1 : 5$.

1) Выразите вектор $\vec{BF}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$.

2) Найдите модуль вектора $\vec{BF}$.

Пусть точка С - середина отрезка AB. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его концов:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$z_C = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Таким образом, координаты середины отрезка AB: $(-1; 3; -1)$.
Длина отрезка AB вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:
$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$
$|AB| = \sqrt{(4 - (-6))^2 + (1 - 5)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{10^2 + (-4)^2 + (-8)^2}$
$|AB| = \sqrt{100 + 16 + 64} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.
Ответ: координаты середины $(-1; 3; -1)$, длина $6\sqrt{5}$.

Поскольку точки C и D симметричны относительно точки M, точка M является серединой отрезка CD. Пусть координаты точки C равны $(x_C; y_C; z_C)$. Тогда справедливы формулы для координат середины отрезка:
$x_M = \frac{x_C + x_D}{2} \Rightarrow x_C = 2x_M - x_D$
$y_M = \frac{y_C + y_D}{2} \Rightarrow y_C = 2y_M - y_D$
$z_M = \frac{z_C + z_D}{2} \Rightarrow z_C = 2z_M - z_D$
Подставим известные координаты точек D(-6; 2; 3) и M(3; -2; -5):
$x_C = 2 \cdot 3 - (-6) = 6 + 6 = 12$
$y_C = 2 \cdot (-2) - 2 = -4 - 2 = -6$
$z_C = 2 \cdot (-5) - 3 = -10 - 3 = -13$
Ответ: C(12; -6; -13).

1) координаты вектора $\vec{a} = 3\vec{m} - 4\vec{n}$
Для нахождения координат вектора $\vec{a}$ выполним соответствующие операции с координатами векторов $\vec{m}(7; 1; -2)$ и $\vec{n}(-1; 2; -2)$:
$3\vec{m} = 3 \cdot (7; 1; -2) = (21; 3; -6)$
$4\vec{n} = 4 \cdot (-1; 2; -2) = (-4; 8; -8)$
$\vec{a} = 3\vec{m} - 4\vec{n} = (21; 3; -6) - (-4; 8; -8) = (21 - (-4); 3 - 8; -6 - (-8)) = (25; -5; 2)$.
Ответ: $\vec{a}(25; -5; 2)$.

2) косинус угла между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$
Косинус угла $\theta$ между векторами находится по формуле: $\cos(\theta) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{m} \cdot \vec{n} = 7 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-2) = -7 + 2 + 4 = -1$.
Найдем модули (длины) векторов:
$|\vec{m}| = \sqrt{7^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 1 + 4} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
Вычислим косинус угла:
$\cos(\theta) = \frac{-1}{3\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{-1}{9\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{54}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{54}$.

1) коллинеарны
Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Для векторов $\vec{m}(1; -4; -3)$ и $\vec{n}(5; p; -15)$ должно выполняться соотношение:
$\frac{5}{1} = \frac{p}{-4} = \frac{-15}{-3}$
Из первого и третьего отношений получаем: $5 = 5$. Это верное равенство, значит векторы могут быть коллинеарны.
Теперь найдем $p$ из пропорции: $\frac{5}{1} = \frac{p}{-4}$.
$p = 5 \cdot (-4) = -20$.
Ответ: $p = -20$.

2) перпендикулярны
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.
$1 \cdot 5 + (-4) \cdot p + (-3) \cdot (-15) = 0$
$5 - 4p + 45 = 0$
$50 - 4p = 0$
$4p = 50$
$p = \frac{50}{4} = \frac{25}{2} = 12.5$.
Ответ: $p = 12.5$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n}(A; B; C)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.
В нашем случае плоскость проходит через точку M(3; -4; 1), так что $(x_0; y_0; z_0) = (3; -4; 1)$.
Плоскость перпендикулярна прямой MK, следовательно, вектор $\vec{MK}$ является нормальным вектором плоскости. Найдем его координаты:
$\vec{n} = \vec{MK} = (6 - 3; -8 - (-4); 3 - 1) = (3; -4; 2)$.
Таким образом, $A=3$, $B=-4$, $C=2$.
Подставим эти значения в уравнение плоскости:
$3(x - 3) - 4(y - (-4)) + 2(z - 1) = 0$
$3(x - 3) - 4(y + 4) + 2(z - 1) = 0$
$3x - 9 - 4y - 16 + 2z - 2 = 0$
$3x - 4y + 2z - 27 = 0$.
Ответ: $3x - 4y + 2z - 27 = 0$.

1) Выразите вектор $\vec{BF}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$
Вектор $\vec{BF}$ можно представить в виде суммы векторов: $\vec{BF} = \vec{BC} + \vec{CF}$.
Точка F лежит на отрезке $CD_1$ и делит его в отношении $CF : FD_1 = 1 : 5$. Это означает, что $\vec{CF} = \frac{1}{1+5}\vec{CD_1} = \frac{1}{6}\vec{CD_1}$.
Вектор $\vec{CD_1}$ можно разложить по ребрам куба: $\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1}$.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, лежащие на параллельных ребрах, равны: $\vec{CD} = \vec{BA}$ и $\vec{DD_1} = \vec{BB_1}$.
Следовательно, $\vec{CD_1} = \vec{BA} + \vec{BB_1}$.
Подставим это выражение для $\vec{CD_1}$ в формулу для $\vec{CF}$:
$\vec{CF} = \frac{1}{6}(\vec{BA} + \vec{BB_1})$.
Теперь подставим полученное выражение для $\vec{CF}$ в исходную сумму для $\vec{BF}$:
$\vec{BF} = \vec{BC} + \frac{1}{6}(\vec{BA} + \vec{BB_1}) = \vec{BC} + \frac{1}{6}\vec{BA} + \frac{1}{6}\vec{BB_1}$.
Ответ: $\vec{BF} = \frac{1}{6}\vec{BA} + \vec{BC} + \frac{1}{6}\vec{BB_1}$.

2) Найдите модуль вектора $\vec{BF}$
Векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$ взаимно перпендикулярны, так как они направлены вдоль ребер куба, выходящих из одной вершины. Длина каждого из этих векторов равна ребру куба, то есть 1.
Модуль вектора $\vec{BF}$ найдем как корень из скалярного квадрата этого вектора: $|\vec{BF}| = \sqrt{\vec{BF} \cdot \vec{BF}}$.
$\vec{BF} \cdot \vec{BF} = (\frac{1}{6}\vec{BA} + \vec{BC} + \frac{1}{6}\vec{BB_1}) \cdot (\frac{1}{6}\vec{BA} + \vec{BC} + \frac{1}{6}\vec{BB_1})$.
Так как $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$, $\vec{BA} \cdot \vec{BB_1} = 0$, $\vec{BC} \cdot \vec{BB_1} = 0$ и $|\vec{BA}|^2=1, |\vec{BC}|^2=1, |\vec{BB_1}|^2=1$, получаем:
$|\vec{BF}|^2 = (\frac{1}{6})^2|\vec{BA}|^2 + |\vec{BC}|^2 + (\frac{1}{6})^2|\vec{BB_1}|^2 = \frac{1}{36} \cdot 1 + 1^2 + \frac{1}{36} \cdot 1 = \frac{1}{36} + 1 + \frac{1}{36} = 1 + \frac{2}{36} = 1 + \frac{1}{18} = \frac{19}{18}$.
$|\vec{BF}| = \sqrt{\frac{19}{18}} = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{19}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{38}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{38}}{6}$.