Номер 4, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Объёмы многогранников

1. Основанием прямой призмы является прямоугольник, одна из сторон которого равна 15 см, а диагональ — 17 см. Найдите объём призмы, если её высота равна 10 см.

2. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, а боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол $30^\circ$.

3. Найдите объём правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 4 см и 6 см, а высота — 9 см.

4. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при вершине. Две боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья — наклонена к ней под углом $\phi$. Найдите объём пирамиды.

5. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $a$, а плоский угол при вершине — $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Контрольная работа № 4

Тема. Объёмы многогранников

1. Основанием прямой призмы является прямоугольник, одна из сторон которого равна 15 см, а диагональ — 17 см. Найдите объём призмы, если её высота равна 10 см.

2. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, а боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол 30°.

3. Найдите объём правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 4 см и 6 см, а высота — 9 см.

4. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $ \alpha $ при вершине. Две боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья — наклонена к ней под углом $ \varphi $. Найдите объём пирамиды.

5. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $a$, а плоский угол при вершине — $ \alpha $. Найдите объём пирамиды.

1.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Основанием призмы является прямоугольник. Пусть его стороны равны $a$ и $b$. По условию, одна из сторон равна 15 см, пусть $a = 15$ см. Диагональ прямоугольника $d = 17$ см.

Стороны и диагональ прямоугольника связаны соотношением по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$.

Подставим известные значения и найдём вторую сторону $b$:

$15^2 + b^2 = 17^2$

$225 + b^2 = 289$

$b^2 = 289 - 225 = 64$

$b = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдём площадь основания (прямоугольника):

$S_{осн} = a \cdot b = 15 \cdot 8 = 120$ см².

Высота призмы дана по условию: $h = 10$ см.

Вычислим объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 120 \cdot 10 = 1200$ см³.

Ответ: 1200 см³.

2.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Пирамида правильная треугольная, значит, в её основании лежит равносторонний треугольник. Сторона основания $a = 12$ см.

Площадь равностороннего треугольника: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на основание. Для правильной пирамиды проекцией бокового ребра на основание является радиус $R$ описанной около основания окружности.

Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Высота пирамиды $H$, радиус $R$ и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник, в котором угол между $R$ и боковым ребром равен 30°. Тогда:

$\tan(30^\circ) = \frac{H}{R}$

$H = R \cdot \tan(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4$ см.

Теперь вычислим объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 4 = 12\sqrt{3} \cdot 4 = 48\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $48\sqrt{3}$ см³.

3.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} H (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $H$ — высота, а $S_1$ и $S_2$ — площади оснований.

Пирамида правильная четырёхугольная, значит, её основания — квадраты.

Стороны оснований равны $a_1 = 6$ см и $a_2 = 4$ см.

Площадь большего основания: $S_1 = a_1^2 = 6^2 = 36$ см².

Площадь меньшего основания: $S_2 = a_2^2 = 4^2 = 16$ см².

Высота усечённой пирамиды $H = 9$ см.

Подставляем значения в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot (36 + 16 + \sqrt{36 \cdot 16})$

$V = 3 \cdot (52 + \sqrt{576})$

$V = 3 \cdot (52 + 24) = 3 \cdot 76 = 228$ см³.

Ответ: 228 см³.

4.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Основание — равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при вершине. Его площадь:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)$.

Две боковые грани, содержащие боковые стороны основания (стороны длины $a$), перпендикулярны плоскости основания. Это означает, что их общее ребро перпендикулярно плоскости основания и является высотой пирамиды $H$. Это ребро исходит из вершины основания, где сходятся стороны длины $a$.

Третья боковая грань наклонена к основанию под углом $\phi$. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного высотой (апофемой) этой грани и высотой $h_{осн}$ треугольника основания, проведённой к его третьей стороне.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, высотой основания $h_{осн}$ и апофемой третьей грани, имеем соотношение: $\tan(\phi) = \frac{H}{h_{осн}}$, откуда $H = h_{осн} \tan(\phi)$.

Найдём высоту $h_{осн}$. Из площади основания $S_{осн} = \frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)$. Используя формулу двойного угла $\sin(\alpha) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$, получаем $S_{осн} = a^2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Основание равнобедренного треугольника (третья сторона) равно $c = 2a \sin(\frac{\alpha}{2})$. Площадь также равна $S_{осн} = \frac{1}{2} c \cdot h_{осн}$.

Приравняем выражения для площади: $a^2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2} (2a \sin(\frac{\alpha}{2})) h_{осн}$.

$a^2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) = a \sin(\frac{\alpha}{2}) h_{осн}$, откуда $h_{осн} = a \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь находим высоту пирамиды: $H = a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\phi)$.

Вычисляем объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)) \cdot (a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\phi))$.

$V = \frac{1}{6} a^3 \sin(\alpha) \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\phi) = \frac{1}{6} a^3 (2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})) \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\phi) = \frac{1}{3} a^3 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \tan(\phi)$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} a^3 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\phi)$.

5.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Пирамида правильная треугольная. Боковое ребро равно $a$, плоский угол при вершине равен $\alpha$.

Боковые грани — равные равнобедренные треугольники со сторонами $a, a$ и углом $\alpha$ между ними. Основание этого треугольника является стороной $b$ основания пирамиды.

По теореме косинусов для боковой грани: $b^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$.

Используя формулу понижения степени, $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$b^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, откуда $b = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $b$. Его площадь:

$S_{осн} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

Высота пирамиды $H$, боковое ребро $a$ и радиус $R$ описанной окружности основания связаны соотношением $H^2 + R^2 = a^2$.

Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $b$: $R = \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{3}}$.

Найдём высоту $H$:

$H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(\frac{2a\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{3}}\right)^2 = a^2 - \frac{4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{3} = \frac{a^2}{3}(3 - 4\sin^2(\frac{\alpha}{2}))$.

Используя тождество $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, или $2\sin^2(\frac{\alpha}{2})=1-\cos(\alpha)$, имеем $3-4\sin^2(\frac{\alpha}{2})=3-2(1-\cos\alpha) = 1+2\cos\alpha$.

$H^2 = \frac{a^2}{3}(1 + 2\cos(\alpha))$, значит $H = a\sqrt{\frac{1 + 2\cos(\alpha)}{3}}$.

Вычисляем объём:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (a^2\sqrt{3}\sin^2(\frac{\alpha}{2})) \cdot (a\sqrt{\frac{1 + 2\cos(\alpha)}{3}}) = \frac{a^3\sqrt{3}}{3} \sin^2(\frac{\alpha}{2}) \frac{\sqrt{1 + 2\cos(\alpha)}}{\sqrt{3}}$.

$V = \frac{a^3}{3} \sin^2(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{1 + 2\cos(\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{a^3}{3} \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{1 + 2\cos(\alpha)}$.