Номер 334, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

334. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь сферы, описанной около данной пирамиды.

334. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь сферы, описанной около данной пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. В ее основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $ABC$ — её основание. Высота пирамиды $SO$ проецируется в центр $O$ основания $ABC$.
Боковое ребро, например $SA$, образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Этот угол равен углу между ребром и его проекцией на плоскость. Проекцией ребра $SA$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AO$. Таким образом, $\angle SAO = \alpha$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAO$ (прямой угол при вершине $O$). Катет $AO$ является радиусом окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$. Длина этого радиуса вычисляется по формуле:$AO = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Из треугольника $SAO$ выразим высоту пирамиды $H=SO$ и длину бокового ребра $l=SA$:
$H = SO = AO \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{3} \tan(\alpha)$
$l = SA = \frac{AO}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{3}}{3\cos(\alpha)}$
Центр $Q$ сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте $SO$. Радиус $R$ этой сферы можно найти по формуле $R = \frac{l^2}{2H}$. Подставим в неё найденные выражения для $l$ и $H$:
$R = \frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3\cos(\alpha)}\right)^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} \tan(\alpha)} = \frac{\frac{3a^2}{9\cos^2(\alpha)}}{\frac{2a\sqrt{3}}{3} \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\frac{a^2}{3\cos^2(\alpha)}}{\frac{2a\sqrt{3}\sin(\alpha)}{3\cos(\alpha)}}$
Упростим полученное выражение:
$R = \frac{a^2}{3\cos^2(\alpha)} \cdot \frac{3\cos(\alpha)}{2a\sqrt{3}\sin(\alpha)} = \frac{a}{2\sqrt{3}\cos(\alpha)\sin(\alpha)}$
Применим формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}\sin(2\alpha)}$
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Сначала найдём квадрат радиуса:
$R^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}\sin(2\alpha)}\right)^2 = \frac{a^2}{3\sin^2(2\alpha)}$
Теперь можем найти площадь сферы:
$S = 4\pi \cdot \frac{a^2}{3\sin^2(2\alpha)} = \frac{4\pi a^2}{3\sin^2(2\alpha)}$
Ответ: $\frac{4\pi a^2}{3\sin^2(2\alpha)}$