Номер 335, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

335. Диагональ осевого сечения усечённого конуса длиной 20 см перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Высота усечённого конуса равна 12 см. Найдите площадь сферы, описанной около данного усечённого конуса.

335. Диагональ осевого сечения усечённого конуса длиной 20 см перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Высота усечённого конуса равна 12 см. Найдите площадь сферы, описанной около данного усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Сфера, описанная около усечённого конуса, является той же сферой, что и описанная около его осевого сечения. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, описанной около равнобокой трапеции.

Пусть осевое сечение — это равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — диаметры оснований усечённого конуса ($AD > BC$). Тогда $AC$ — диагональ трапеции, $CD$ — её боковая сторона (образующая конуса), а высота трапеции $h$ равна высоте конуса.

По условию задачи:

• длина диагонали $d = AC = 20$ см;
• диагональ перпендикулярна образующей: $AC \perp CD$, следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$;
• высота усечённого конуса $h = 12$ см.

Радиус $R$ сферы, описанной около усечённого конуса, равен радиусу окружности, описанной около трапеции $ABCD$. Так как точки $A$, $C$ и $D$ лежат на этой окружности, то радиус этой окружности совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $ACD$.

Поскольку $\angle ACD = 90^\circ$, треугольник $ACD$ является прямоугольным. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы. В треугольнике $ACD$ гипотенузой является сторона $AD$. Таким образом, $R = \frac{AD}{2}$.

Найдем длину $AD$. Проведём в трапеции высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Длина этой высоты равна высоте усечённого конуса, то есть $CH = h = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (по построению $\angle CHA = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем катет $AH$:

$AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. $CH$ является высотой, проведённой из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AD$. Воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике, которое связывает высоту с проекциями катетов на гипотенузу: $CH^2 = AH \cdot HD$.

Подставим известные значения и найдем $HD$:

$12^2 = 16 \cdot HD$

$144 = 16 \cdot HD$

$HD = \frac{144}{16} = 9$ см.

Теперь мы можем найти длину всего основания $AD$:

$AD = AH + HD = 16 + 9 = 25$ см.

Радиус описанной сферы $R$ равен половине $AD$:

$R = \frac{AD}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ см.

Площадь сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Подставим найденное значение радиуса:

$S = 4\pi \cdot (12.5)^2 = 4\pi \cdot (\frac{25}{2})^2 = 4\pi \cdot \frac{625}{4} = 625\pi$ см$^2$.

Ответ: $625\pi$ см$^2$.