Номер 135, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. В основании конуса проведена хорда, которая видна из его вершины под углом $ \alpha $. Высота конуса равна $ H $, а угол между образующей и плоскостью основания равен $ \beta $. Найдите проведённую хорду.

135. В основании конуса проведена хорда, которая видна из его вершины под углом $ \alpha $. Высота конуса равна $ H $, а угол между образующей и плоскостью основания равен $ \beta $. Найдите проведённую хорду.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, а $A$ и $B$ — концы данной хорды. Высота конуса $SO$ по условию равна $H$. Образующие $SA$ и $SB$ соединяют вершину с концами хорды. Длины всех образующих одного конуса равны, поэтому $SA = SB$. Обозначим длину образующей через $L$.

Рассмотрим треугольник $SOA$, который является прямоугольным, так как высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания ($∠SOA = 90^\circ$). Угол между образующей $SA$ и плоскостью основания — это угол между прямой $SA$ и ее проекцией $OA$ на эту плоскость. Следовательно, по условию $\angle SAO = \beta$. В этом треугольнике катет $SO=H$ является противолежащим углу $\beta$, а гипотенуза — это образующая $SA=L$. Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике следует:
$\sin(\beta) = \frac{SO}{SA} = \frac{H}{L}$
Отсюда мы можем выразить длину образующей $L$:
$L = \frac{H}{\sin(\beta)}$

Теперь рассмотрим треугольник $ASB$. Этот треугольник является равнобедренным, так как боковые стороны $SA = SB = L$. Угол при вершине $S$, под которым видна хорда $AB$ из вершины конуса, по условию равен $\alpha$, то есть $\angle ASB = \alpha$. Искомая длина хорды — это длина основания $AB$ этого треугольника.

Для нахождения длины стороны $AB$ в треугольнике $ASB$ можно применить теорему косинусов. Или, что проще, проведем высоту $SM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $M$ — середина $AB$ ($AM = \frac{1}{2}AB$) и $\angle ASM = \frac{1}{2}\angle ASB = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ASM$ ($∠SMA = 90^\circ$). По определению синуса острого угла:
$\sin(\angle ASM) = \frac{AM}{SA}$
Подставив известные значения, получим:
$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{AB/2}{L}$
Отсюда выразим длину хорды $AB$:
$AB = 2L \sin(\frac{\alpha}{2})$

Наконец, подставим в полученное выражение для $AB$ найденное ранее выражение для $L$:
$AB = 2 \cdot \left(\frac{H}{\sin(\beta)}\right) \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{2H\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\beta)}$

Ответ: $\frac{2H\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\beta)}$