Номер 128, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. В правильную четырёхугольную призму вписан ци-линдр, высота которого равна $H$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

128. В правильную четырёхугольную призму вписан цилиндр, высота которого равна $H$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма. Это означает, что в её основании лежит правильный четырёхугольник (квадрат), а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Обозначим сторону квадрата в основании как $a$.

В призму вписан цилиндр. Это значит, что основания цилиндра (окружности) вписаны в основания призмы (квадраты), а высота цилиндра равна высоте призмы. По условию, высота цилиндра равна $H$, следовательно, высота призмы также равна $H$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$
где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Так как основание призмы — квадрат со стороной $a$, его периметр равен $P_{осн} = 4a$. Подставив это в формулу, получим:
$S_{бок} = 4aH$

Чтобы найти площадь, нам нужно выразить сторону $a$ через известные величины $H$ и $\alpha$.

Рассмотрим вписанный цилиндр. Так как его основание (окружность) вписано в квадратное основание призмы, диаметр окружности $D$ равен стороне квадрата $a$. Таким образом, $D = a$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D$ и высоте цилиндра $H$. По условию, диагональ этого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю осевого сечения, диаметром основания $D$ и высотой цилиндра $H$. В этом треугольнике:

• катет, противолежащий углу $\alpha$, — это высота $H$;
• катет, прилежащий к углу $\alpha$, — это диаметр $D$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике следует:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{D}$

Выразим из этой формулы диаметр $D$:
$D = \frac{H}{\tan(\alpha)} = H \cot(\alpha)$

Поскольку сторона основания призмы $a$ равна диаметру $D$, получаем:
$a = H \cot(\alpha)$

Теперь подставим найденное выражение для $a$ в формулу площади боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = 4aH = 4(H \cot(\alpha))H = 4H^2 \cot(\alpha)$

Ответ: $4H^2 \cot(\alpha)$