Номер 121, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр, высота которого равна $h$, а угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

121. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр, высота которого равна $h$, а угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Поскольку правильная треугольная призма вписана в цилиндр, их высоты равны $h$. Основание призмы, правильный треугольник, вписано в окружность основания цилиндра. Это означает, что окружность основания цилиндра является описанной окружностью для треугольника в основании призмы.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника, высота $h$ и диаметр $D$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и плоскостью основания – это угол между диагональю и диаметром $D$, который по условию равен $\beta$.

Из этого прямоугольного треугольника можно выразить диаметр $D$ через высоту $h$ и угол $\beta$:
$\tan(\beta) = \frac{h}{D}$
Отсюда $D = \frac{h}{\tan(\beta)} = h \cot(\beta)$.

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{h \cot(\beta)}{2}$.

Этот радиус $R$ также является радиусом окружности, описанной около правильного треугольника в основании призмы. Пусть сторона этого треугольника равна $a$. Связь между стороной правильного треугольника и радиусом описанной окружности задается формулой:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Выразим сторону треугольника $a$:
$a = R\sqrt{3} = \frac{h \cot(\beta)}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}h \cot(\beta)}{2}$.

Площадь боковой поверхности правильной призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра её основания $P$ на высоту $h$.
$S_{бок} = P \cdot h$
Периметр основания, которое является правильным треугольником со стороной $a$, равен $P = 3a$.
Подставим найденное выражение для $a$:
$P = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}h \cot(\beta)}{2} = \frac{3\sqrt{3}h \cot(\beta)}{2}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = P \cdot h = \left(\frac{3\sqrt{3}h \cot(\beta)}{2}\right) \cdot h = \frac{3\sqrt{3}h^2 \cot(\beta)}{2}$.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{3}}{2}h^2 \cot(\beta) $