Номер 114, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. Радиус основания цилиндра равен 17 см, а высота — $4\sqrt{6}$ см. Плоскость $\gamma$ пересекает его основания по хордам длиной 16 см и 30 см. Центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от плоскости $\gamma$. Найдите угол между плоскостью $\gamma$ и плоскостью основания цилиндра.

114. Радиус основания цилиндра равен 17 см, а высота — $4\sqrt{6}$ см. Плоскость $\gamma$ пересекает его основания по хордам длиной 16 см и 30 см. Центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от плоскости $\gamma$. Найдите угол между плоскостью $\gamma$ и плоскостью основания цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра $R = 17$ см, а высота $H = 4\sqrt{6}$ см. Плоскость $\gamma$ пересекает нижнее и верхнее основания по хордам $AB$ и $CD$ соответственно, с длинами $c_1 = 30$ см и $c_2 = 16$ см.

1. Найдем расстояния от центров оснований до хорд.

Рассмотрим одно из оснований. Пусть $O_1$ — центр основания, а $AB$ — хорда длиной $c_1 = 30$ см. Расстояние от центра до хорды, обозначим его $d_1$, можно найти из прямоугольного треугольника, где гипотенузой является радиус $R$, одним катетом — половина хорды ($c_1/2$), а вторым катетом — искомое расстояние $d_1$.
По теореме Пифагора:
$d_1 = \sqrt{R^2 - (c_1/2)^2} = \sqrt{17^2 - (30/2)^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

Аналогично для второго основания. Пусть $O_2$ — центр, а $CD$ — хорда длиной $c_2 = 16$ см. Расстояние $d_2$ от центра до этой хорды:
$d_2 = \sqrt{R^2 - (c_2/2)^2} = \sqrt{17^2 - (16/2)^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17-8)(17+8)} = \sqrt{9 \cdot 25} = 15$ см.

2. Найдем угол между плоскостями.

Угол между плоскостью $\gamma$ и плоскостью основания цилиндра — это двугранный угол. Для его нахождения рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной хордам $AB$ и $CD$. В этом сечении мы получим прямоугольник, а линия пересечения с плоскостью $\gamma$ будет отрезком, соединяющим точки, лежащие на перпендикулярах, опущенных из центров оснований на хорды.

Пусть $\alpha$ — искомый угол. Тангенс этого угла равен отношению высоты цилиндра $H$ к расстоянию между проекциями хорд на одну плоскость.
Поскольку центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от плоскости $\gamma$, то и проекции хорд на плоскость сечения будут находиться по разные стороны от оси цилиндра. Поэтому расстояние между ними будет суммой расстояний $d_1$ и $d_2$.
Расстояние между проекциями хорд: $d = d_1 + d_2 = 8 + 15 = 23$ см.

Теперь мы можем найти тангенс угла $\alpha$ из прямоугольного треугольника, где катетами являются высота цилиндра $H$ и расстояние $d$:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{d} = \frac{4\sqrt{6}}{23}$

Следовательно, сам угол $\alpha$ равен арктангенсу этого значения.
$\alpha = \arctan\left(\frac{4\sqrt{6}}{23}\right)$

Ответ: $\arctan\left(\frac{4\sqrt{6}}{23}\right)$.