Номер 111, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Прямоугольник $AA_1B_1B$ — осевое сечение цилиндра, отрезок $CC_1$ — образующая цилиндра. Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ равен $45^\circ$. Площадь сечения цилиндра плоскостью $AA_1C$ равна $S$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

111. Прямоугольник $AA_1B_1B$ — осевое сечение цилиндра, отрезок $CC_1$ — образующая цилиндра. Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ равен $45^\circ$. Площадь сечения цилиндра плоскостью $AA_1C$ равна $S$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Пусть высота цилиндра равна $h$, а радиус его основания равен $R$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник $AA_1B_1B$, где $AA_1$ — образующая, равная высоте цилиндра $h$, а $AB$ — диаметр основания, равный $2R$. Площадь осевого сечения, которую нам нужно найти, равна: $S_{осевое} = AB \cdot AA_1 = 2R \cdot h$.

Сечение цилиндра плоскостью $AA_1C$ — это прямоугольник $AA_1C_1C$, так как образующая $AA_1$ перпендикулярна основанию, а значит и хорде $AC$. Площадь этого сечения по условию равна $S$: $S = AC \cdot AA_1 = AC \cdot h$.

Угол между плоскостями $(AA_1B)$ и $(AA_1C)$ — это двугранный угол. Линия пересечения этих плоскостей — образующая $AA_1$. Так как образующая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания цилиндра, то и любые прямые, лежащие в плоскости основания, будут ей перпендикулярны. Прямые $AB$ и $AC$ лежат в плоскости основания и проходят через точку $A$ на прямой $AA_1$. Следовательно, угол между плоскостями равен линейному углу между лучами $AB$ и $AC$, то есть $\angle CAB$. По условию, $\angle CAB = 45^\circ$.

Рассмотрим основание цилиндра. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания. Отрезок $AB$ является диаметром. Треугольник $ABC$ вписан в эту окружность. Поскольку угол $\angle ACB$ опирается на диаметр $AB$, он является прямым: $\angle ACB = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $ABC$ — прямоугольный. В этом треугольнике нам известен катет $AC$, гипотенуза $AB$ и угол $\angle CAB = 45^\circ$. Мы можем связать катет $AC$ и гипотенузу $AB$ через косинус угла: $\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB}$ $\cos(45^\circ) = \frac{AC}{AB}$ $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AC}{AB}$ Отсюда выразим $AB$: $AB = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2AC}{\sqrt{2}} = AC\sqrt{2}$.

Теперь вернемся к формулам для площадей. Мы ищем $S_{осевое} = AB \cdot h$. Нам дана $S = AC \cdot h$.

Подставим в формулу для площади осевого сечения выражение для $AB$, которое мы нашли: $S_{осевое} = (AC\sqrt{2}) \cdot h = (AC \cdot h) \cdot \sqrt{2}$. Так как $AC \cdot h = S$, получаем: $S_{осевое} = S\sqrt{2}$.

Ответ: $S\sqrt{2}$.