Номер 112, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, площадь которого равна $S$, а диагональ сечения образует с плоскостью основания угол $\phi$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с осью цилиндра угол $\alpha$. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

112. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, площадь которого равна $S$, а диагональ сечения образует с плоскостью основания угол $\phi$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с осью цилиндра угол $\alpha$. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

Пусть $H$ — высота цилиндра, а $R$ — радиус его основания.

Сечение, параллельное оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Обозначим его стороны как $a$ и $H$. Сторона $a$ является хордой в основании цилиндра, а сторона $H$ равна высоте цилиндра. Площадь этого сечения равна $S$, следовательно, $S = a \cdot H$.

Диагональ сечения $d$ образует с плоскостью основания угол $\phi$. Эта диагональ, сторона сечения $a$ (которая лежит в плоскости основания) и высота $H$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $H$ является катетом, противолежащим углу $\phi$, а $a$ — прилежащим катетом. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$\tan(\phi) = \frac{H}{a}$

Из этого соотношения выразим сторону $a$:

$a = \frac{H}{\tan(\phi)}$

Подставим это выражение для $a$ в формулу площади сечения:

$S = \frac{H}{\tan(\phi)} \cdot H = \frac{H^2}{\tan(\phi)}$

Отсюда найдем высоту цилиндра $H$:

$H^2 = S \cdot \tan(\phi)$
$H = \sqrt{S \cdot \tan(\phi)}$

Теперь рассмотрим второе условие. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с осью цилиндра угол $\alpha$. Этот отрезок является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота цилиндра $H$ (совпадающая с осью) и радиус основания $R$. Угол $\alpha$ является углом, прилежащим к катету $H$. Таким образом, мы можем записать:

$\tan(\alpha) = \frac{R}{H}$

Отсюда выразим радиус основания $R$:

$R = H \cdot \tan(\alpha)$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $H$:

$R = \sqrt{S \cdot \tan(\phi)} \cdot \tan(\alpha) = \tan(\alpha)\sqrt{S \cdot \tan(\phi)}$

Ответ: Высота цилиндра $H = \sqrt{S \cdot \tan(\phi)}$, радиус его основания $R = \tan(\alpha)\sqrt{S \cdot \tan(\phi)}$.