Номер 108, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Радиус основания цилиндра равен 5 см. На расстоянии 3 см от оси цилиндра параллельно ей проведено сечение. Найдите высоту цилиндра, если диагональ сечения равна 17 см.

108. Радиус основания цилиндра равен 5 см. На расстоянии 3 см от оси цилиндра параллельно ей проведено сечение. Найдите высоту цилиндра, если диагональ сечения равна 17 см.

Поскольку сечение проведено параллельно оси цилиндра, оно представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая сторона – хорде $w$ в основании цилиндра. Диагональ этого прямоугольника $d$ дана и равна 17 см.

Сначала найдем длину хорды $w$. Рассмотрим основание цилиндра – круг с радиусом $R = 5$ см. Хорда $w$ находится на расстоянии $l = 3$ см от центра круга. Радиус, проведенный к концу хорды, расстояние от центра до хорды и половина хорды образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике радиус $R$ является гипотенузой, а расстояние $l$ и половина хорды $(\frac{w}{2})$ – катетами.

По теореме Пифагора: $R^2 = l^2 + (\frac{w}{2})^2$

Подставим известные значения: $5^2 = 3^2 + (\frac{w}{2})^2$ $25 = 9 + (\frac{w}{2})^2$ $(\frac{w}{2})^2 = 25 - 9 = 16$ $\frac{w}{2} = \sqrt{16} = 4$ см

Следовательно, длина хорды (ширина сечения) равна: $w = 2 \times 4 = 8$ см

Теперь рассмотрим прямоугольник сечения. Его стороны – это высота цилиндра $H$ и ширина $w = 8$ см, а диагональ $d = 17$ см. Эти величины связаны теоремой Пифагора: $d^2 = H^2 + w^2$

Выразим высоту $H$: $H^2 = d^2 - w^2$

Подставим известные значения: $H^2 = 17^2 - 8^2$ $H^2 = 289 - 64 = 225$ $H = \sqrt{225} = 15$ см

Таким образом, высота цилиндра равна 15 см.

Ответ: 15 см.