Номер 113, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 12 см, а высота — 24 см. Из точки $A$, принадлежащей отрезку $OO_1$, проведён луч, пересекающий плоскость нижнего основания в точке, удалённой на 32 см от точки $O$, а образующую цилиндра — в точке, удалённой от плоскости нижнего основания на 10 см. В каком отношении точка $A$ делит отрезок $OO_1$, считая от точки $O$?

113. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 12 см, а высота — 24 см. Из точки $A$, принадлежащей отрезку $OO_1$, проведён луч, пересекающий плоскость нижнего основания в точке, удалённой на 32 см от точки $O$, а образующую цилиндра — в точке, удалённой от плоскости нижнего основания на 10 см. В каком отношении точка $A$ делит отрезок $OO_1$, считая от точки $O$?

Пусть $O$ - центр нижнего основания, а $O_1$ - центр верхнего основания цилиндра. Ось цилиндра - это отрезок $OO_1$. По условию задачи, радиус основания цилиндра $R = 12$ см, а высота $H = OO_1 = 24$ см. Точка $A$ лежит на оси $OO_1$.

Проведенный из точки $A$ луч пересекает плоскость нижнего основания в точке $B$, удаленной от точки $O$ на 32 см, то есть $OB = 32$ см. Этот же луч пересекает образующую цилиндра в точке $C$, удаленной от плоскости нижнего основания на 10 см.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через луч $AB$. В этом сечении ось $OO_1$ будет вертикальным отрезком, а прямая $OB$ - горизонтальной прямой, на которой лежит радиус нижнего основания. Точки $A$, $C$ и $B$ лежат на одной прямой.

Пусть искомое расстояние $OA = h$. Нам нужно найти отношение $OA : AO_1$.

Опустим перпендикуляр из точки $C$ на плоскость нижнего основания. Пусть его основанием будет точка $E$. Так как точка $C$ лежит на образующей, расстояние от $E$ до центра основания $O$ равно радиусу цилиндра, то есть $OE = R = 12$ см. Высота точки $C$ над основанием равна $CE = 10$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$ (с прямым углом $AOB$) и $\triangle CEB$ (с прямым углом $CEB$). Эти треугольники подобны по двум углам:

1. $\angle AOB = \angle CEB = 90^\circ$.
2. $\angle ABO$ - общий угол.

Следовательно, $\triangle AOB \sim \triangle CEB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $$ \frac{AO}{CE} = \frac{OB}{EB} $$

Найдем длину катета $EB$: $EB = OB - OE = 32 - 12 = 20$ см.

Теперь подставим известные значения в пропорцию, чтобы найти $h = AO$: $$ \frac{h}{10} = \frac{32}{20} $$ $$ h = 10 \cdot \frac{32}{20} = \frac{320}{20} = 16 \text{ см} $$

Таким образом, расстояние $OA = 16$ см. Найдем вторую часть отрезка $OO_1$: $AO_1 = OO_1 - OA = 24 - 16 = 8$ см.

Искомое отношение, в котором точка $A$ делит отрезок $OO_1$, считая от точки $O$, равно: $$ \frac{OA}{AO_1} = \frac{16}{8} = \frac{2}{1} $$

Ответ: 2:1.