Номер 117, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу этого треугольника, образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

117. Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу этого треугольника, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Дано: основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом $a = 4$ см. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Около призмы описан цилиндр.

1. Найдем гипотенузу $c$ равнобедренного прямоугольного треугольника в основании призмы. По теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Найдем высоту призмы $H$. Так как около призмы описан цилиндр, призма является прямой. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, сама гипотенуза $c$ и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость, то есть гипотенузой $c$. В этом прямоугольном треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $45^\circ$, а гипотенуза $c$ — прилежащим катетом.
Следовательно, $\tan(45^\circ) = \frac{H}{c}$.
Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то высота призмы равна гипотенузе основания:
$H = c = 4\sqrt{2}$ см.

3. Найдем параметры цилиндра, описанного около призмы. Высота цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы: $H_{цил} = H = 4\sqrt{2}$ см.
Основание цилиндра — это круг, описанный около треугольника в основании призмы. Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы:
$R = \frac{c}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

4. Вычислим площадь полной поверхности цилиндра. Формула площади полной поверхности цилиндра $S_{полн}$:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2\pi R^2 + 2\pi R H_{цил} = 2\pi R(R + H_{цил})$.
Подставим найденные значения $R$ и $H_{цил}$:
$S_{полн} = 2\pi (2\sqrt{2})(2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 4\pi\sqrt{2} \cdot (6\sqrt{2}) = 24\pi \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 24\pi \cdot 2 = 48\pi$ см$^2$.

Ответ: $48\pi$ см$^2$.