Номер 115, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а высота призмы — $H$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около призмы.

115. Сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а высота призмы — $H$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около призмы.

По условию, дана правильная треугольная призма, вписанная в цилиндр. Это означает, что основания призмы (правильные треугольники) вписаны в основания цилиндра (круги), а высота цилиндра совпадает с высотой призмы $H$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая сторона — диаметру его основания $D$. Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ находится по формуле:

$S_{сеч} = D \cdot H$

Чтобы найти площадь сечения, нам необходимо определить диаметр основания цилиндра. Так как треугольное основание призмы вписано в круглое основание цилиндра, то радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$.

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{2\sin(60^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Тогда диаметр основания цилиндра $D$ равен:

$D = 2R = 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение диаметра в формулу площади осевого сечения:

$S_{сеч} = \frac{2a}{\sqrt{3}} \cdot H = \frac{2aH}{\sqrt{3}}$

Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$S_{сеч} = \frac{2aH \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2aH\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2aH\sqrt{3}}{3}$