Номер 109, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

109. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Проведённое сечение является квадратом, а радиус основания цилиндра равен $8\sqrt{2}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

109. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Проведённое сечение является квадратом, а радиус основания цилиндра равен $8\sqrt{2}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

По условию, сечение проведено параллельно оси цилиндра. Такое сечение представляет собой прямоугольник. Две его стороны — это образующие цилиндра, равные его высоте $H$, а две другие — параллельные хорды в верхнем и нижнем основаниях. Пусть длина этой хорды равна $a$.

Так как сечение является квадратом, то его стороны равны, то есть высота цилиндра равна длине хорды: $H = a$.

Рассмотрим основание цилиндра. Хорда $a$ отсекает от окружности основания дугу в $90^\circ$. Соединим концы хорды с центром окружности. Мы получим равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны радиусу основания $R = 8\sqrt{2}$ см, а основание — хорда $a$. Угол между боковыми сторонами (радиусами) — это центральный угол, который равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, этот угол равен $90^\circ$.

Таким образом, мы имеем прямоугольный равнобедренный треугольник, где катеты — это радиусы $R$, а гипотенуза — хорда $a$. По теореме Пифагора найдем длину хорды $a$:
$a^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$
$a = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Подставим значение радиуса $R = 8\sqrt{2}$ см:
$a = (8\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Поскольку сечение — квадрат, высота цилиндра $H$ равна стороне $a$:
$H = a = 16$ см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$:
$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot (8\sqrt{2}) \cdot 16 = 256\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

Ответ: $256\sqrt{2}\pi$ см$^2$.