Номер 106, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной 16 см, которую видно из центра этого основания под углом 120°. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

106. В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной 16 см, которую видно из центра этого основания под углом 120°. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. Для решения задачи необходимо найти значения $R$ и $H$, исходя из данных условия.

1. Нахождение радиуса основания R.

Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Пусть $O$ — центр этого основания, а $AB$ — данная хорда, длина которой по условию равна 16 см. Угол, под которым хорда видна из центра, составляет $120^\circ$, то есть $\angle AOB = 120^\circ$. Треугольник $AOB$ является равнобедренным, так как его боковые стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу основания $R$.

Проведем в треугольнике $AOB$ высоту $OM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, треугольник $AOM$ — прямоугольный, и в нем:

• $AM = \frac{1}{2} AB = \frac{16}{2} = 8$ см.
• $\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $AOM$ найдем гипотенузу $OA$, которая равна радиусу $R$. Используем для этого синус угла $\angle AOM$:

$\sin(\angle AOM) = \frac{AM}{OA} \implies \sin(60^\circ) = \frac{8}{R}$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{R}$

Отсюда находим радиус:

$R = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра H.

Пусть $O'$ — центр верхнего основания цилиндра. Отрезок $O'A$ соединяет центр верхнего основания с концом хорды $A$ в нижнем основании. По условию, этот отрезок образует с плоскостью нижнего основания угол $60^\circ$.

Проекцией наклонного отрезка $O'A$ на плоскость нижнего основания является радиус $OA$. Угол между наклонной и ее проекцией и есть угол между отрезком и плоскостью. Таким образом, $\angle O'AO = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $O'OA$. Он является прямоугольным, поскольку высота цилиндра $OO' = H$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и радиусу $OA$. В этом треугольнике:

• $OA = R = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см (катет).
• $OO' = H$ (катет).
• $\angle O'AO = 60^\circ$.

Найдем высоту $H$ через тангенс угла $\angle O'AO$:

$\tan(\angle O'AO) = \frac{OO'}{OA} = \frac{H}{R}$

$H = R \cdot \tan(60^\circ) = \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{16 \cdot 3}{3} = 16$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности цилиндра.

Теперь, когда известны радиус $R = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см и высота $H = 16$ см, мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра по формуле:

$S_{бок} = 2\pi RH$

$S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot 16 = \frac{2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \pi\sqrt{3}}{3} = \frac{512\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $ \frac{512\pi\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2 $.