Номер 99, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Найдите уравнение образа плоскости $x - 2y + z - 4 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (2; -4; 3);

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 3$.

99. Найдите уравнение образа плоскости $x - 2y + z - 4 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (2; -4; 3);

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 3$.

Исходное уравнение плоскости: $x - 2y + z - 4 = 0$.

Для нахождения уравнения образа плоскости при заданном преобразовании, выразим координаты $(x, y, z)$ произвольной точки исходной плоскости через координаты $(x', y', z')$ ее образа и подставим полученные выражения в уравнение плоскости.

1) при симметрии относительно начала координат

Симметрия точки $M(x, y, z)$ относительно начала координат переводит ее в точку $M'(x', y', z')$, где $x' = -x$, $y' = -y$, $z' = -z$. Отсюда выражаем исходные координаты: $x = -x'$, $y = -y'$, $z = -z'$.

Подставляем эти выражения в уравнение плоскости:

$(-x') - 2(-y') + (-z') - 4 = 0$

$-x' + 2y' - z' - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства:

$x' - 2y' + z' + 4 = 0$

Заменив штрихованные координаты на обычные, получаем уравнение образа плоскости.

Ответ: $x - 2y + z + 4 = 0$

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (2; -4; 3)$

Параллельный перенос точки $M(x, y, z)$ на вектор $\vec{a} = (2; -4; 3)$ переводит ее в точку $M'(x', y', z')$, где $x' = x + 2$, $y' = y - 4$, $z' = z + 3$. Отсюда выражаем исходные координаты: $x = x' - 2$, $y = y' + 4$, $z = z' - 3$.

Подставляем эти выражения в уравнение плоскости:

$(x' - 2) - 2(y' + 4) + (z' - 3) - 4 = 0$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x' - 2 - 2y' - 8 + z' - 3 - 4 = 0$

$x' - 2y' + z' - 17 = 0$

Заменив штрихованные координаты на обычные, получаем уравнение образа плоскости.

Ответ: $x - 2y + z - 17 = 0$

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 3$

Гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом $k=3$ переводит точку $M(x, y, z)$ в точку $M'(x', y', z')$, где $x' = 3x$, $y' = 3y$, $z' = 3z$. Отсюда выражаем исходные координаты: $x = \frac{x'}{3}$, $y = \frac{y'}{3}$, $z = \frac{z'}{3}$.

Подставляем эти выражения в уравнение плоскости:

$\frac{x'}{3} - 2\left(\frac{y'}{3}\right) + \frac{z'}{3} - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на $3$, чтобы избавиться от знаменателей:

$x' - 2y' + z' - 12 = 0$

Заменив штрихованные координаты на обычные, получаем уравнение образа плоскости.

Ответ: $x - 2y + z - 12 = 0$