Номер 98, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. При каких значениях $b$ и $c$ плоскость $12x + by + cz + 16 = 0$ будет перпендикулярна прямой $CD$, если $C (4; -5; -6)$, $D (1; 5; -4)$?

98. При каких значениях $b$ и $c$ плоскость $12x + by + cz + 16 = 0$ будет перпендикулярна прямой $CD$, если $C(4; -5; -6)$, $D(1; 5; -4)$?

Для того чтобы плоскость была перпендикулярна прямой, необходимо и достаточно, чтобы ее нормальный вектор был коллинеарен (параллелен) направляющему вектору этой прямой.

1. Нахождение нормального вектора плоскости.
Уравнение плоскости задано в виде $12x + by + cz + 16 = 0$.Координаты нормального вектора $\vec{n}$ к плоскости равны коэффициентам при $x, y, z$ в ее общем уравнении.Следовательно, $\vec{n} = \{12; b; c\}$.

2. Нахождение направляющего вектора прямой.
Прямая $CD$ проходит через точки $C(4; -5; -6)$ и $D(1; 5; -4)$.Направляющий вектор прямой $\vec{CD}$ находится как разность координат конца и начала вектора:$\vec{CD} = \{x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C\}$$\vec{CD} = \{1 - 4; 5 - (-5); -4 - (-6)\}$$\vec{CD} = \{-3; 10; 2\}$.

3. Применение условия перпендикулярности плоскости и прямой.
Условие коллинеарности векторов $\vec{n}$ и $\vec{CD}$ означает, что их соответствующие координаты пропорциональны. То есть, существует такое число $k$, что $\vec{n} = k \cdot \vec{CD}$.Запишем это равенство в координатах:$\{12; b; c\} = k \cdot \{-3; 10; 2\}$Это эквивалентно системе уравнений:$\begin{cases}12 = -3k \\b = 10k \\c = 2k\end{cases}$

4. Решение системы и нахождение $b$ и $c$.
Из первого уравнения находим коэффициент пропорциональности $k$:$k = \frac{12}{-3} = -4$.

Подставляем найденное значение $k$ в остальные уравнения системы:$b = 10 \cdot (-4) = -40$$c = 2 \cdot (-4) = -8$

Ответ: $b = -40$, $c = -8$.