Номер 107, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $ \alpha $, а из центра верхнего основания — под углом $ \beta $. Расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно $ a $. Найдите высоту цилиндра.

107. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания — под углом $\beta$. Расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно $a$. Найдите высоту цилиндра.

Пусть $O_1$ — центр нижнего основания, а $O_2$ — центр верхнего основания цилиндра. Пусть $AB$ — хорда, проведенная в нижнем основании. Высота цилиндра равна $H = O_1O_2$.

По условию задачи, хорду $AB$ видно из центра нижнего основания $O_1$ под углом $\alpha$, что означает $\angle AO_1B = \alpha$. Эту же хорду видно из центра верхнего основания $O_2$ под углом $\beta$, то есть $\angle AO_2B = \beta$. Расстояние от центра нижнего основания $O_1$ до хорды $AB$ равно $a$.

Обозначим середину хорды $AB$ буквой $M$. Тогда отрезок $O_1M$ перпендикулярен хорде $AB$, и его длина равна заданному расстоянию, то есть $O_1M = a$. В равнобедренном треугольнике $AO_1B$ (где $O_1A$ и $O_1B$ — радиусы), отрезок $O_1M$ является высотой, медианой и биссектрисой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$. Угол $\angle AO_1M$ равен половине центрального угла, то есть $\angle AO_1M = \frac{\alpha}{2}$. Из этого треугольника мы можем выразить половину длины хорды, $AM$:

$\frac{AM}{O_1M} = \tan(\angle AO_1M) \implies AM = a \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AO_2B$. Он также является равнобедренным, так как отрезки $O_2A$ и $O_2B$ соединяют центр верхнего основания с точками на окружности нижнего основания. Отрезок $O_2M$, соединяющий вершину $O_2$ с серединой основания $AB$, является медианой, высотой и биссектрисой этого треугольника.

Таким образом, треугольник $\triangle O_2MA$ является прямоугольным, а угол $\angle AO_2M = \frac{\beta}{2}$. Из этого треугольника также выразим $AM$:

$\frac{AM}{O_2M} = \tan(\angle AO_2M) \implies AM = O_2M \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Ось цилиндра $O_1O_2$ перпендикулярна плоскости нижнего основания, а значит, перпендикулярна любому отрезку в этой плоскости, проходящему через точку $O_1$. Следовательно, $O_1O_2 \perp O_1M$. Это означает, что треугольник $\triangle O_1O_2M$ является прямоугольным с катетами $O_1O_2 = H$ и $O_1M = a$. По теореме Пифагора, длина гипотенузы $O_2M$ равна:

$O_2M = \sqrt{O_1O_2^2 + O_1M^2} = \sqrt{H^2 + a^2}$.

Теперь у нас есть два выражения для $AM$. Приравняем их, подставив найденное выражение для $O_2M$:

$a \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{H^2 + a^2} \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Выразим из этого уравнения высоту $H$. Сначала выразим $\sqrt{H^2 + a^2}$:

$\sqrt{H^2 + a^2} = \frac{a \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\frac{\beta}{2})} = a \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Возведем обе части равенства в квадрат:

$H^2 + a^2 = a^2 \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Перенесем $a^2$ в правую часть и вынесем за скобки:

$H^2 = a^2 \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - a^2 = a^2 \left( \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - 1 \right)$.

Наконец, извлечем квадратный корень, чтобы найти $H$:

$H = a \sqrt{\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - 1}$.

Ответ: $a \sqrt{\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - 1}$.