Номер 127, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. В правильной шестиугольной призме сторона основания равна $a$, а высота — $H$. В призму вписан цилиндр. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, по которым боковая поверхность цилиндра касается двух соседних боковых граней призмы.

127. В правильной шестиугольной призме сторона основания равна $a$, а высота — $H$. В призму вписан цилиндр. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, по которым боковая поверхность цилиндра касается двух соседних боковых граней призмы.

Поскольку призма правильная, её основание — правильный шестиугольник. Цилиндр вписан в призму, следовательно, высота цилиндра равна высоте призмы $H$, а основание цилиндра — круг, вписанный в правильный шестиугольник со стороной $a$.

Радиус $r$ круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной $a$, равен апофеме этого шестиугольника. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Высота такого треугольника (которая и является апофемой) находится по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Сечение цилиндра, о котором говорится в задаче, проходит через две образующие. Образующие цилиндра параллельны друг другу и перпендикулярны основаниям, а их длина равна высоте цилиндра $H$. Следовательно, искомое сечение является прямоугольником.

Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$. Вторая сторона равна расстоянию между двумя образующими, по которым боковая поверхность цилиндра касается двух соседних боковых граней призмы. Это расстояние равно длине хорды, соединяющей точки касания основания цилиндра (круга) с двумя соседними сторонами основания призмы (шестиугольника).

Рассмотрим основание призмы. Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника и вписанного в него круга. Пусть $M_1$ и $M_2$ — точки касания круга с двумя соседними сторонами шестиугольника. Тогда отрезки $OM_1$ и $OM_2$ — это радиусы, проведенные в точки касания, и $OM_1 = OM_2 = r$.

Угол между радиусами, проведенными в точки касания с двумя соседними сторонами правильного n-угольника, равен $\frac{360^\circ}{n}$. Для шестиугольника ($n=6$) этот угол составляет: $\angle M_1OM_2 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$

Рассмотрим треугольник $\triangle M_1OM_2$. Он является равнобедренным, так как $OM_1 = OM_2 = r$. Поскольку угол при вершине $\angle M_1OM_2$ равен $60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Следовательно, расстояние между точками $M_1$ и $M_2$ равно радиусу: $|M_1M_2| = r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Это и есть длина второй стороны прямоугольного сечения. Площадь сечения $S$ равна произведению его сторон: $S = H \cdot |M_1M_2| = H \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{aH\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{aH\sqrt{3}}{2}$