Страница 81 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Известно, что $|\vec{b}|=8$. Найдите модуль вектора $\vec{c}$, если:

1) $\vec{c}=2\vec{b}$;

2) $\vec{c}=-\frac{1}{4}\vec{b}$.

51. Известно, что $\left| \vec{b} \right| = 8$. Найдите модуль вектора $\vec{c}$, если:

1) $\vec{c} = 2\vec{b}$;

2) $\vec{c} = -\frac{1}{4}\vec{b}$.

Для решения задачи воспользуемся свойством модуля вектора, умноженного на скаляр (число). Если вектор $\vec{a}$ умножается на скаляр $k$, то модуль нового вектора $|k\vec{a}|$ равен произведению модуля скаляра $|k|$ на модуль исходного вектора $|\vec{a}|$. Формула: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

По условию задачи нам известно, что $|\vec{b}| = 8$.

1) Дано, что $\vec{c} = 2\vec{b}$.
Найдём модуль вектора $\vec{c}$:
$|\vec{c}| = |2\vec{b}|$
Применим свойство модуля: $|2\vec{b}| = |2| \cdot |\vec{b}|$.
Так как $|2| = 2$ и $|\vec{b}| = 8$, получаем:
$|\vec{c}| = 2 \cdot 8 = 16$.
Ответ: 16.

2) Дано, что $\vec{c} = -\frac{1}{4}\vec{b}$.
Найдём модуль вектора $\vec{c}$:
$|\vec{c}| = |-\frac{1}{4}\vec{b}|$
Применим то же свойство: $|-\frac{1}{4}\vec{b}| = |-\frac{1}{4}| \cdot |\vec{b}|$.
Модуль числа $-\frac{1}{4}$ равен $\frac{1}{4}$, а $|\vec{b}| = 8$.
$|\vec{c}| = \frac{1}{4} \cdot 8 = \frac{8}{4} = 2$.
Ответ: 2.

52. Какими векторами, сонаправленными или противоположно направленными, являются векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если:

1) $\vec{m} = 0,2\vec{n};$

2) $\vec{n} = -12\vec{m}?$

52. Какими векторами, сонаправленными или противоположно направленными, являются векторы $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $, если:

1) $ \vec{m} = 0,2\vec{n}; $

2) $ \vec{n} = -12\vec{m}? $

Чтобы определить, являются ли векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправленными или противоположно направленными, нужно посмотреть на знак коэффициента, связывающего эти векторы. Если два ненулевых вектора связаны соотношением $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$, где $k$ — это число (скаляр), то:

• если $k > 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (направлены в одну сторону).
• если $k < 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (направлены в разные стороны).

Рассмотрим каждый случай.

1) Дано равенство $\vec{m} = 0,2\vec{n}$.

Здесь вектор $\vec{m}$ выражен через вектор $\vec{n}$ с помощью коэффициента $k=0,2$. Поскольку коэффициент $k = 0,2$ является положительным числом ($0,2 > 0$), то векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ являются сонаправленными.

Ответ: сонаправленные.

2) Дано равенство $\vec{n} = -12\vec{m}$.

Здесь вектор $\vec{n}$ выражен через вектор $\vec{m}$ с помощью коэффициента $k=-12$. Поскольку коэффициент $k = -12$ является отрицательным числом ($-12 < 0$), то векторы $\vec{n}$ и $\vec{m}$ являются противоположно направленными.

Ответ: противоположно направленные.

53. Дан вектор $\vec{a}$ $(1,5; -2,5; -4)$. Найдите координаты вектора $\vec{d}$, если:

1) $\vec{d} = 6\vec{a}$;

2) $\vec{d} = -\frac{1}{5}\vec{a}$.

53. Дан вектор $ \vec{a} $ (1,5; -2,5; -4). Найдите координаты вектора $ \vec{d} $, если:

1) $ \vec{d} = 6\vec{a} $;

2) $ \vec{d} = -\frac{1}{5}\vec{a} $.

Чтобы найти координаты вектора $\vec{d}$, полученного умножением вектора $\vec{a}(1,5; -2,5; -4)$ на число (скаляр), необходимо каждую координату вектора $\vec{a}$ умножить на этот скаляр.

1) $\vec{d} = 6\vec{a}$
Умножим каждую координату вектора $\vec{a}$ на 6:
$d_x = 6 \cdot 1,5 = 9$
$d_y = 6 \cdot (-2,5) = -15$
$d_z = 6 \cdot (-4) = -24$
Таким образом, координаты вектора $\vec{d}$ равны $(9; -15; -24)$.
Ответ: $\vec{d}(9; -15; -24)$.

2) $\vec{d} = -\frac{1}{5}\vec{a}$
Умножим каждую координату вектора $\vec{a}$ на $-\frac{1}{5}$. Удобнее представить $-\frac{1}{5}$ в виде десятичной дроби $-0,2$.
$d_x = -0,2 \cdot 1,5 = -0,3$
$d_y = -0,2 \cdot (-2,5) = 0,5$
$d_z = -0,2 \cdot (-4) = 0,8$
Таким образом, координаты вектора $\vec{d}$ равны $(-0,3; 0,5; 0,8)$.
Ответ: $\vec{d}(-0,3; 0,5; 0,8)$.

54. Даны векторы $\vec{a} (4; -7; -3)$ и $\vec{b} (-3; 6; 2)$. Найдите

координаты вектора $\vec{c}$, если:

1) $\vec{c} = 4\vec{a} + 6\vec{b};$

2) $\vec{c} = 3\vec{b} - 5\vec{a}.$

54. Даны векторы $\vec{a}$ (4; -7; -3) и $\vec{b}$ (-3; 6; 2). Найдите координаты вектора с, если:

1) $\vec{c} = 4\vec{a} + 6\vec{b}$;

2) $\vec{c} = 3\vec{b} - 5\vec{a}$.

Даны векторы $\vec{a}(4; -7; -3)$ и $\vec{b}(-3; 6; 2)$.

1) $\vec{c} = 4\vec{a} + 6\vec{b}$

Чтобы найти координаты вектора $\vec{c}$, нужно сначала умножить координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на скаляры 4 и 6 соответственно, а затем сложить полученные векторы.

1. Умножим вектор $\vec{a}$ на 4:

$4\vec{a} = 4 \cdot (4; -7; -3) = (4 \cdot 4; 4 \cdot (-7); 4 \cdot (-3)) = (16; -28; -12)$.

2. Умножим вектор $\vec{b}$ на 6:

$6\vec{b} = 6 \cdot (-3; 6; 2) = (6 \cdot (-3); 6 \cdot 6; 6 \cdot 2) = (-18; 36; 12)$.

3. Сложим полученные векторы:

$\vec{c} = 4\vec{a} + 6\vec{b} = (16; -28; -12) + (-18; 36; 12) = (16 + (-18); -28 + 36; -12 + 12) = (-2; 8; 0)$.

Ответ: $\vec{c}(-2; 8; 0)$.

2) $\vec{c} = 3\vec{b} - 5\vec{a}$

Чтобы найти координаты вектора $\vec{c}$, нужно сначала умножить координаты векторов $\vec{b}$ и $\vec{a}$ на скаляры 3 и 5 соответственно, а затем вычесть из первого полученного вектора второй.

1. Умножим вектор $\vec{b}$ на 3:

$3\vec{b} = 3 \cdot (-3; 6; 2) = (3 \cdot (-3); 3 \cdot 6; 3 \cdot 2) = (-9; 18; 6)$.

2. Умножим вектор $\vec{a}$ на 5:

$5\vec{a} = 5 \cdot (4; -7; -3) = (5 \cdot 4; 5 \cdot (-7); 5 \cdot (-3)) = (20; -35; -15)$.

3. Вычтем из вектора $3\vec{b}$ вектор $5\vec{a}$:

$\vec{c} = 3\vec{b} - 5\vec{a} = (-9; 18; 6) - (20; -35; -15) = (-9 - 20; 18 - (-35); 6 - (-15)) = (-29; 53; 21)$.

Ответ: $\vec{c}(-29; 53; 21)$.

55. Найдите модуль вектора $\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$, если $\vec{a} (5; -12; 4)$, $\vec{b} (1; -2; 2)$.

55. Найдите модуль вектора $\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$, если $\vec{a} (5; -12; 4)$, $\vec{b} (1; -2; 2)$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти координаты вектора $2\vec{a}$.

Для этого нужно каждую координату вектора $\vec{a}(5; -12; 4)$ умножить на 2:

$2\vec{a} = (2 \cdot 5; 2 \cdot (-12); 2 \cdot 4) = (10; -24; 8)$.

2. Найти координаты вектора $3\vec{b}$.

Аналогично, каждую координату вектора $\vec{b}(1; -2; 2)$ умножаем на 3:

$3\vec{b} = (3 \cdot 1; 3 \cdot (-2); 3 \cdot 2) = (3; -6; 6)$.

3. Найти координаты вектора $\vec{m}$.

Вычтем из координат вектора $2\vec{a}$ соответствующие координаты вектора $3\vec{b}$:

$\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b} = (10 - 3; -24 - (-6); 8 - 6) = (7; -18; 2)$.

4. Найти модуль вектора $\vec{m}$.

Модуль вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Применим эту формулу для вектора $\vec{m}(7; -18; 2)$:

$|\vec{m}| = \sqrt{7^2 + (-18)^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 324 + 4} = \sqrt{377}$.

Ответ: $\sqrt{377}$.

56. Коллинеарны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если A (2; -5; 4), B (1; 4; 6), C (-4; -6; 8), D (-2; -24; 4)?

56. Коллинеарны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если A (2; -5; 4), B (1; 4; 6), C (-4; -6; 8), D (-2; -24; 4)?

Чтобы определить, коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$, необходимо найти их координаты и проверить, пропорциональны ли они. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ с началом в точке $A(2; -5; 4)$ и концом в точке $B(1; 4; 6)$:
$\overrightarrow{AB} = (1 - 2; 4 - (-5); 6 - 4) = (-1; 9; 2)$.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{CD}$ с началом в точке $C(-4; -6; 8)$ и концом в точке $D(-2; -24; 4)$:
$\overrightarrow{CD} = (-2 - (-4); -24 - (-6); 4 - 8) = (2; -18; -4)$.

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим это условие для векторов $\overrightarrow{AB}(-1; 9; 2)$ и $\overrightarrow{CD}(2; -18; -4)$, составив отношения их координат:
$\frac{2}{-1} = -2$
$\frac{-18}{9} = -2$
$\frac{-4}{2} = -2$

Поскольку все отношения равны одному и тому же числу (коэффициенту пропорциональности $k = -2$), векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ коллинеарны. Это означает, что $\overrightarrow{CD} = -2 \cdot \overrightarrow{AB}$.

Ответ: да, векторы коллинеарны.

57. Найдите среди векторов $\vec{a} (6; -9; 3)$, $\vec{b} (24; -36; 12)$, $\vec{c} (-1,8; 2,7; -0,9)$ и $\vec{p} (-2; 3; -1)$ сонаправленные и противоположно направленные векторы.

57. Найдите среди векторов $\vec{a} (6; -9; 3)$, $\vec{b} (24; -36; 12)$, $\vec{c} (-1,8; 2,7; -0,9)$ и $\vec{p} (-2; 3; -1)$ сонаправленные и противоположно направленные векторы.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы $\vec{u}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2; z_2)$ коллинеарны, если существует такое число $k \ne 0$, что выполняется равенство $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$. Это равносильно пропорциональности их координат: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$.

Если коэффициент пропорциональности $k > 0$, то векторы сонаправлены (направлены в одну сторону), что обозначается как $\vec{u} \uparrow\uparrow \vec{v}$.

Если коэффициент пропорциональности $k < 0$, то векторы противоположно направлены (направлены в разные стороны), что обозначается как $\vec{u} \uparrow\downarrow \vec{v}$.

Проанализируем данные векторы: $\vec{a}(6; -9; 3)$, $\vec{b}(24; -36; 12)$, $\vec{c}(-1,8; 2,7; -0,9)$ и $\vec{p}(-2; 3; -1)$.

Сонаправленные векторы

Найдем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ положителен.

1. Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{24}{6} = 4$

$\frac{-36}{-9} = 4$

$\frac{12}{3} = 4$

Отношения равны, коэффициент $k = 4$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. То есть, $\vec{b} = 4\vec{a}$.

2. Сравним векторы $\vec{c}$ и $\vec{p}$. Найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{-1,8}{-2} = 0,9$

$\frac{2,7}{3} = 0,9$

$\frac{-0,9}{-1} = 0,9$

Отношения равны, коэффициент $k = 0,9$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{c}$ и $\vec{p}$ сонаправлены. То есть, $\vec{c} = 0,9\vec{p}$.

Ответ: Сонаправленными являются пары векторов: ($\vec{a}$ и $\vec{b}$), ($\vec{c}$ и $\vec{p}$).

Противоположно направленные векторы

Найдем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ отрицателен. Для этого достаточно сравнить векторы из разных групп сонаправленных векторов (например, $\vec{a}$ и $\vec{p}$).

1. Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{p}$. Найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{6}{-2} = -3$

$\frac{-9}{3} = -3$

$\frac{3}{-1} = -3$

Отношения равны, коэффициент $k = -3$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{p}$ противоположно направлены. То есть, $\vec{a} = -3\vec{p}$.

2. Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

$\frac{-1,8}{6} = -0,3$

$\frac{2,7}{-9} = -0,3$

$\frac{-0,9}{3} = -0,3$

Коэффициент $k = -0,3$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ противоположно направлены. То есть, $\vec{c} = -0,3\vec{a}$.

Поскольку $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ и $\vec{c} \uparrow\uparrow \vec{p}$, то любой вектор из пары ($\vec{a}, \vec{b}$) будет противоположно направлен любому вектору из пары ($\vec{c}, \vec{p}$). Таким образом, все возможные пары противоположно направленных векторов это:

• $\vec{a}$ и $\vec{c}$
• $\vec{a}$ и $\vec{p}$
• $\vec{b}$ и $\vec{c}$
• $\vec{b}$ и $\vec{p}$

Ответ: Противоположно направленными являются пары векторов: ($\vec{a}$ и $\vec{c}$), ($\vec{a}$ и $\vec{p}$), ($\vec{b}$ и $\vec{c}$), ($\vec{b}$ и $\vec{p}$).

58. Найдите значения $x$ и $z$, при которых векторы $\vec{a} (x; 3; -4)$ и $\vec{b} (8; -12; z)$ будут коллинеарными.

58. Найдите значения $x$ и $z$, при которых векторы $\vec{a} (x; 3; -4)$ и $\vec{b} (8; -12; z)$ будут коллинеарными.

Два вектора $\vec{a}(a_x; a_y; a_z)$ и $\vec{b}(b_x; b_y; b_z)$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. То есть, существует такое число $k$, что выполняются равенства:

$b_x = k \cdot a_x$

$b_y = k \cdot a_y$

$b_z = k \cdot a_z$

Это можно записать в виде пропорции:

$\frac{b_x}{a_x} = \frac{b_y}{a_y} = \frac{b_z}{a_z}$

Подставим координаты данных векторов $\vec{a}(x; 3; -4)$ и $\vec{b}(8; -12; z)$ в эту пропорцию:

$\frac{8}{x} = \frac{-12}{3} = \frac{z}{-4}$

Сначала найдем коэффициент пропорциональности $k$ из отношения координат, которые известны (координаты по оси y):

$k = \frac{-12}{3} = -4$

Теперь, зная коэффициент $k$, мы можем найти неизвестные $x$ и $z$.

1. Найдем значение $x$:

$\frac{8}{x} = k \implies \frac{8}{x} = -4$

Отсюда $8 = -4x$, следовательно:

$x = \frac{8}{-4} = -2$

2. Найдем значение $z$:

$\frac{z}{-4} = k \implies \frac{z}{-4} = -4$

Отсюда $z = -4 \cdot (-4)$, следовательно:

$z = 16$

Ответ: $x = -2$, $z = 16$.

59. Дан вектор $\vec{b} (2; -1; -2)$. Найдите координаты вектора $c$, противоположно направленного с вектором $\vec{b}$, если $|\vec{c}|=45$.

59. Дан вектор $\vec{b}$ (2; -1; -2). Найдите координаты вектора c, противоположно направленного с вектором $\vec{b}$, если $\left|\vec{c}\right|=45$.

По условию, вектор $\vec{c}$ противоположно направлен вектору $\vec{b}$. Это означает, что векторы коллинеарны и направлены в разные стороны. Математически это можно выразить так: $\vec{c} = k \cdot \vec{b}$, где $k$ — некоторое отрицательное число ($k < 0$).

Координаты вектора $\vec{b}$ равны $(2; -1; -2)$. Тогда координаты вектора $\vec{c}$ будут: $\vec{c} = (k \cdot 2; k \cdot (-1); k \cdot (-2)) = (2k; -k; -2k)$.

Длина (модуль) вектора $\vec{c}$ связана с длиной вектора $\vec{b}$ соотношением: $|\vec{c}| = |k| \cdot |\vec{b}|$.

Сначала найдем длину вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

По условию задачи, длина вектора $\vec{c}$ равна 45, то есть $|\vec{c}| = 45$. Подставим известные значения в формулу для длины: $45 = |k| \cdot 3$.

Отсюда находим $|k|$: $|k| = \frac{45}{3} = 15$.

Так как векторы $\vec{c}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, коэффициент $k$ должен быть отрицательным. Следовательно, $k = -15$.

Теперь можем найти координаты вектора $\vec{c}$, подставив значение $k = -15$: $x_c = 2k = 2 \cdot (-15) = -30$ $y_c = -k = -(-15) = 15$ $z_c = -2k = -2 \cdot (-15) = 30$

Таким образом, координаты вектора $\vec{c}$ равны $(-30; 15; 30)$.

Ответ: $(-30; 15; 30)$.

60. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A(-2; -1; 2)$, $B(4; -3; 6)$, $C(-1; -2; 1)$ и $D(-4; -1; -1)$ является трапецией.

60. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами $A(-2; -1; 2)$, $B(4; -3; 6)$, $C(-1; -2; 1)$ и $D(-4; -1; -1)$ является трапецией.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является трапецией, необходимо показать, что две его противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны. В координатном пространстве стороны параллельны, если соответствующие им векторы коллинеарны (то есть их координаты пропорциональны).

Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника, используя координаты вершин: $A(-2; -1; 2)$, $B(4; -3; 6)$, $C(-1; -2; 1)$ и $D(-4; -1; -1)$.

Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты: $(4 - (-2); -3 - (-1); 6 - 2) = (6; -2; 4)$.

Вектор $\vec{CD}$ имеет координаты: $(-4 - (-1); -1 - (-2); -1 - 1) = (-3; 1; -2)$.

Вектор $\vec{BC}$ имеет координаты: $(-1 - 4; -2 - (-3); 1 - 6) = (-5; 1; -5)$.

Вектор $\vec{DA}$ имеет координаты: $(-2 - (-4); -1 - (-1); 2 - (-1)) = (2; 0; 3)$.

Теперь проверим на коллинеарность векторы, соответствующие противоположным сторонам четырехугольника.

Сравним векторы $\vec{AB} = (6; -2; 4)$ и $\vec{CD} = (-3; 1; -2)$. Проверим, пропорциональны ли их координаты:

$\frac{6}{-3} = -2$; $\frac{-2}{1} = -2$; $\frac{4}{-2} = -2$.

Так как отношения всех соответствующих координат равны, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны, а значит, стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

Сравним векторы $\vec{BC} = (-5; 1; -5)$ и $\vec{DA} = (2; 0; 3)$. Проверим, пропорциональны ли их координаты:

$\frac{-5}{2} = -2.5$; $\frac{1}{0}$.

Отношение вторых координат найти невозможно (деление на ноль), что означает, что координаты векторов не пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ не коллинеарны, а стороны $BC$ и $DA$ не параллельны.

Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ одна пара противоположных сторон ($AB$ и $CD$) параллельна, а другая пара ($BC$ и $DA$) не параллельна, по определению этот четырехугольник является трапецией.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $ABCD$ является трапецией.

61. Используя векторы, определите, лежат ли точки $M (2; 2; -7)$, $N (-1; 5; -10)$ и $K (17; -13; 8)$ на одной прямой.

61. Используя векторы, определите, лежат ли точки $M (2; 2; -7)$, $N (-1; 5; -10)$ и $K (17; -13; 8)$ на одной прямой.

Для того чтобы три точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы, образованные этими точками и имеющие общее начало, были коллинеарны. Возьмем точку M в качестве общего начала и найдем векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

Найдем координаты вектора $\vec{MN}$, зная координаты точек $M(2; 2; -7)$ и $N(-1; 5; -10)$:

$\vec{MN} = (-1 - 2; 5 - 2; -10 - (-7)) = (-3; 3; -3)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{MK}$, зная координаты точек $M(2; 2; -7)$ и $K(17; -13; 8)$:

$\vec{MK} = (17 - 2; -13 - 2; 8 - (-7)) = (15; -15; 15)$

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{MK} = k \cdot \vec{MN}$. Проверим это, найдя отношение соответствующих координат:

$\frac{15}{-3} = -5$
$\frac{-15}{3} = -5$
$\frac{15}{-3} = -5$

Так как отношения всех соответствующих координат равны одному и тому же числу (k = -5), то векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$ коллинеарны. Поскольку эти векторы отложены от одной точки M, то точки M, N и K лежат на одной прямой.

Ответ: Точки M, N и K лежат на одной прямой.

62. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{BD_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

62. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{BD_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{BD_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника). Представим вектор $\vec{BD_1}$ как сумму векторов, составляющих ломаную линию, которая соединяет начальную точку B и конечную точку D₁.

Один из возможных путей из точки B в точку D₁ — это путь по ребрам параллелепипеда: B → A → D → D₁. Вектор $\vec{BD_1}$ можно представить как сумму векторов, соответствующих этому пути: $\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Теперь выразим каждый из векторов в правой части равенства через заданные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$:

1. Вектор $\vec{BA}$ направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

2. Вектор $\vec{AD}$ уже является одним из векторов, через которые нужно выразить искомый вектор.

3. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, его боковые ребра параллельны и равны. Это означает, что векторы, лежащие на этих ребрах и имеющие одинаковое направление, равны. Следовательно, $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$.

Подставим полученные выражения обратно в сумму: $\vec{BD_1} = (-\vec{AB}) + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Упростив выражение, получим окончательный вид: $\vec{BD_1} = -\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{BD_1} = -\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$