Страница 75 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

326. Сторона основания правильной четырёхугольной пи-рамиды равна $4\sqrt{3}$ см, а боковое ребро — $2\sqrt{15}$ см. Найдите объём шара, описанного около данной пира-миды.

326. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $4\sqrt{3}$ см, а боковое ребро $2\sqrt{15}$ см. Найдите объём шара, описанного около данной пирамиды.

Для нахождения объёма шара, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, необходимо найти его радиус R. Объём шара вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Дано: сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $a = 4\sqrt{3}$ см, боковое ребро $l = 2\sqrt{15}$ см.

1. Найдём диагональ основания. Так как в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, его диагональ $d$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.$d = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{6}$ см.

2. Найдём высоту пирамиды $H$. Высота $H$, боковое ребро $l$ и половина диагонали основания ($d/2$) образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой. Половина диагонали равна:$\frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$ см.

Применим теорему Пифагора:$H^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2$$H^2 + (2\sqrt{6})^2 = (2\sqrt{15})^2$$H^2 + 4 \cdot 6 = 4 \cdot 15$$H^2 + 24 = 60$$H^2 = 60 - 24 = 36$$H = \sqrt{36} = 6$ см.

3. Найдём радиус $R$ описанного шара. Центр описанного шара лежит на высоте правильной пирамиды. Радиус шара можно найти по формуле $R = \frac{l^2}{2H}$.Подставим найденные значения $l$ и $H$:$R = \frac{(2\sqrt{15})^2}{2 \cdot 6} = \frac{60}{12} = 5$ см.

4. Вычислим объём шара.$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{500\pi}{3}$ см$^3$.

327. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна $H$, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём шара, вписанного в данную пирамиду.

327. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна $H$, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём шара, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида с высотой $H$ и двугранным углом при рёбрах основания, равным $\alpha$. Необходимо найти объём вписанного в неё шара.

Обозначим пирамиду $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина. Пусть $O$ — центр основания, тогда $SO = H$ — высота пирамиды.

Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте пирамиды $SO$ в силу симметрии. Пусть радиус вписанного шара равен $r$. Расстояние от центра шара $I$ до плоскости основания равно радиусу, то есть $IO = r$. Также расстояние от центра $I$ до любой боковой грани равно $r$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофему $SM$ (где $M$ — середина ребра $CD$) и высоту $SO$. Сечением является прямоугольный треугольник $SOM$ ($\angle O = 90^\circ$). Угол $\angle SMO$ — это линейный угол двугранного угла при ребре основания, следовательно, $\angle SMO = \alpha$.

Центр вписанного шара $I$ лежит на отрезке $SO$. Расстояние от $I$ до апофемы $SM$ (которая лежит в боковой грани $SCD$) также равно $r$. Проведём из точки $I$ перпендикуляр $IK$ к $SM$. Тогда $IK = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SKI$. Его гипотенуза $SI = SO - IO = H - r$. Угол $\angle ISK$ совпадает с углом $\angle OSM$. Из прямоугольного треугольника $SOM$ находим $\angle OSM = 90^\circ - \angle SMO = 90^\circ - \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $SKI$ имеем соотношение:

$\sin(\angle ISK) = \frac{IK}{SI}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\sin(90^\circ - \alpha) = \frac{r}{H - r}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$, приходим к уравнению:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{H - r}$

Решим это уравнение относительно $r$:

$r = (H - r)\cos(\alpha)$

$r = H\cos(\alpha) - r\cos(\alpha)$

$r + r\cos(\alpha) = H\cos(\alpha)$

$r(1 + \cos(\alpha)) = H\cos(\alpha)$

$r = \frac{H\cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}$

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Подставим найденное выражение для $r$:

$V = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{H\cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} \right)^3$

Для упрощения выражения для радиуса воспользуемся формулами половинного угла:

$\cos(\alpha) = \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Тогда:

$r = \frac{H\left(\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)}{2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{H}{2}\left(1 - \frac{\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right) = \frac{H}{2}\left(1 - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Теперь подставим это упрощенное выражение для $r$ в формулу объёма:

$V = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{H}{2}\left(1 - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{H^3}{8}\left(1 - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^3$

$V = \frac{\pi H^3}{6}\left(1 - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^3$

Ответ: $V = \frac{\pi H^3}{6}\left(1 - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^3$

328. Радиус сферы равен 6 см. Найдите площадь сферы.

328. Радиус сферы равен 6 см. Найдите площадь сферы.

Для нахождения площади поверхности сферы используется формула:

$S = 4\pi R^2$, где $S$ — площадь сферы, а $R$ — её радиус.

По условию задачи, радиус сферы равен 6 см. Подставим это значение в формулу:

$R = 6$ см

$S = 4\pi \cdot (6)^2$

Теперь выполним вычисления:

$S = 4\pi \cdot 36$

$S = 144\pi$ (см²)

Ответ: $144\pi$ см².

329. Радиус шара уменьшили в 4 раза. Как при этом изменилась площадь его поверхности?

329. Радиус шара уменьшили в 4 раза. Как при этом изменилась площадь его поверхности?

Площадь поверхности шара (сферы) $S$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус шара. Из этой формулы видно, что площадь поверхности пропорциональна квадрату радиуса ($S \sim R^2$).

Пусть $R_1$ — первоначальный радиус шара, а $S_1$ — его первоначальная площадь поверхности. Тогда $S_1 = 4\pi R_1^2$.

Согласно условию, радиус уменьшили в 4 раза. Новый радиус $R_2$ будет равен $R_2 = \frac{R_1}{4}$.

Найдем новую площадь поверхности $S_2$, подставив новый радиус $R_2$ в формулу: $S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi \left(\frac{R_1}{4}\right)^2 = 4\pi \frac{R_1^2}{4^2} = 4\pi \frac{R_1^2}{16}$.

Теперь найдем, во сколько раз изменилась площадь, для этого разделим первоначальную площадь $S_1$ на новую $S_2$: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi \frac{R_1^2}{16}} = \frac{1}{\frac{1}{16}} = 16$.

Следовательно, площадь поверхности шара уменьшилась в 16 раз.

Ответ: Площадь поверхности шара уменьшилась в 16 раз.

330. Площадь поверхности шара увеличили в 9 раз. Во сколько раз увеличился его объём?

330. Площадь поверхности шара увеличили в 9 раз. Во сколько раз увеличился его объём?

Пусть $R_1$ — начальный радиус шара, а $S_1$ и $V_1$ — его начальные площадь поверхности и объём соответственно. После увеличения радиус стал $R_2$, а площадь поверхности и объём — $S_2$ и $V_2$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

По условию задачи, площадь поверхности увеличили в 9 раз, что можно записать как: $S_2 = 9 \cdot S_1$

Подставим формулы для площади поверхности в это равенство: $4\pi R_2^2 = 9 \cdot (4\pi R_1^2)$

Сократим обе части уравнения на $4\pi$: $R_2^2 = 9 R_1^2$

Так как радиус не может быть отрицательным, извлечём квадратный корень из обеих частей: $R_2 = \sqrt{9 R_1^2} = 3R_1$ Это означает, что радиус шара увеличился в 3 раза.

Теперь найдём, во сколько раз увеличился объём. Для этого найдём отношение $V_2$ к $V_1$: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_2^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = (\frac{R_2}{R_1})^3$

Мы уже знаем, что $\frac{R_2}{R_1} = 3$. Подставим это значение в полученное выражение: $\frac{V_2}{V_1} = (3)^3 = 27$

Таким образом, объём шара увеличился в 27 раз.

Ответ: в 27 раз.

331. Плоскость, находящаяся на расстоянии 8 см от центра шара, пересекает его поверхность по линии, длина которой равна $12\pi$ см. Найдите площадь поверхности шара.

331. Плоскость, находящаяся на расстоянии 8 см от центра шара, пересекает его поверхность по линии, длина которой равна $12\pi$ см. Найдите площадь поверхности шара.

Обозначим радиус шара как $R$, а расстояние от центра шара до секущей плоскости как $d$. По условию, $d = 8$ см.

Когда плоскость пересекает шар, в сечении образуется круг. Линия, по которой плоскость пересекает поверхность шара, является окружностью этого круга. Длина этой линии — это длина окружности сечения, которую обозначим как $C$. По условию, $C = 12\pi$ см.

Длина окружности связана с ее радиусом $r$ формулой $C = 2\pi r$. Используя эту формулу, найдем радиус круга в сечении:
$12\pi = 2\pi r$
$r = \frac{12\pi}{2\pi} = 6$ см.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до плоскости $d$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является радиус шара $R$, а катетами — радиус сечения $r$ и расстояние $d$. По теореме Пифагора:
$R^2 = d^2 + r^2$

Подставим известные значения $d=8$ см и $r=6$ см, чтобы найти квадрат радиуса шара:
$R^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ см²
Отсюда радиус шара $R = \sqrt{100} = 10$ см.

Площадь поверхности шара $S$ вычисляется по формуле:
$S = 4\pi R^2$

Подставим найденное значение $R^2 = 100$ см² в формулу:
$S = 4\pi \cdot 100 = 400\pi$ см².

Ответ: $400\pi$ см².

332. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 30 см, а высота — 36 см. Найдите площадь сферы, вписанной в данную пирамиду.

332. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 30 см, а высота — 36 см. Найдите площадь сферы, вписанной в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона ее основания $a = 30$ см, а высота $H = 36$ см.Центр вписанной в пирамиду сферы лежит на ее высоте. Для нахождения радиуса $r$ вписанной сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофемы боковых граней. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно стороне основания пирамиды $a$, а высота — высоте пирамиды $H$. Вписанная в пирамиду сфера в этом сечении будет выглядеть как круг, вписанный в этот треугольник. Радиус этого круга и будет радиусом $r$ вписанной сферы.

1. Найдем апофему $h_a$ (высоту боковой грани) пирамиды. Апофема является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катеты — это высота пирамиды $H$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора:$h_a = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2}$

Подставим известные значения:$h_a = \sqrt{36^2 + (\frac{30}{2})^2} = \sqrt{36^2 + 15^2} = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39$ см.

2. Теперь у нас есть равнобедренный треугольник (осевое сечение) с основанием $a=30$ см, высотой $H=36$ см и боковыми сторонами, равными апофеме $h_a=39$ см.Радиус вписанной в этот треугольник окружности (и, соответственно, вписанной в пирамиду сферы) можно найти, используя метод подобных треугольников.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и половиной стороны основания $\frac{a}{2}$. Центр вписанной сферы $I$ лежит на высоте $H$. Расстояние от центра $I$ до основания равно радиусу $r$. Тогда расстояние от вершины пирамиды до центра сферы равно $H - r$.Треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания, подобен треугольнику, образованному отрезком $H-r$, радиусом $r$ (проведенным к апофеме) и частью апофемы.

Из подобия треугольников следует соотношение:$\frac{r}{\frac{a}{2}} = \frac{H - r}{h_a}$

Подставим числовые значения:$\frac{r}{15} = \frac{36 - r}{39}$

Решим уравнение относительно $r$:$39r = 15(36 - r)$$39r = 540 - 15r$$39r + 15r = 540$$54r = 540$$r = 10$ см.

3. Найдем площадь поверхности вписанной сферы. Формула для площади поверхности сферы:$S_{сферы} = 4\pi r^2$

Подставим найденное значение радиуса $r=10$ см:$S_{сферы} = 4\pi (10)^2 = 4\pi \cdot 100 = 400\pi$ см².

Ответ: $400\pi$ см².

333. Площадь поверхности шара равна $20 \text{ см}^2$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного шара.

333. Площадь поверхности шара равна 20 $см^2$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного шара.

Пусть $R$ — радиус данного шара. Площадь его поверхности ($S_{шара}$) вычисляется по формуле:
$S_{шара} = 4 \pi R^2$

По условию задачи, $S_{шара} = 20$ см², следовательно:
$4 \pi R^2 = 20$

Рассмотрим цилиндр, описанный около этого шара. Его размеры связаны с радиусом шара $R$ следующим образом:
1. Радиус основания цилиндра, $r$, равен радиусу шара: $r = R$.
2. Высота цилиндра, $h$, равна диаметру шара: $h = 2R$.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{цил}$) равна сумме площади его боковой поверхности ($S_{бок}$) и двух площадей оснований ($2S_{осн}$):
$S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$. Подставив $r=R$ и $h=2R$, получим:
$S_{бок} = 2 \pi R (2R) = 4 \pi R^2$

Площадь одного основания цилиндра вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$. Подставив $r=R$, получим:
$S_{осн} = \pi R^2$

Теперь найдем площадь полной поверхности цилиндра:
$S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн} = 4 \pi R^2 + 2(\pi R^2) = 6 \pi R^2$

Мы можем выразить площадь поверхности цилиндра через известную площадь поверхности шара. Мы знаем, что $4 \pi R^2 = 20$.
$S_{цил} = 6 \pi R^2 = \frac{3}{2} \cdot (4 \pi R^2)$
Подставим значение $4 \pi R^2 = 20$:
$S_{цил} = \frac{3}{2} \cdot 20 = 3 \cdot 10 = 30$ см².

Ответ: 30 см².

334. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь сферы, описанной около данной пирамиды.

334. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь сферы, описанной около данной пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида `SABCD`, где `ABCD` – квадратное основание со стороной `a`, а `S` – вершина пирамиды. `O` – центр основания (точка пересечения диагоналей), `SO` – высота пирамиды.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте. Этот центр совпадает с центром окружности, описанной около диагонального сечения пирамиды, например, треугольника `SAC`. Таким образом, радиус `R` описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около треугольника `SAC`.

1. Найдём длину диагонали основания `AC`. Так как `ABCD` – квадрат со стороной `a`, то его диагональ равна:$AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.Проекцией бокового ребра `SA` на плоскость основания является отрезок `OA`. `OA` – это половина диагонали `AC`:$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Угол между боковым ребром `SA` и плоскостью основания – это угол `∠SAO`. По условию, `∠SAO = α`.Рассмотрим прямоугольный треугольник `SAO` (угол `∠SOA = 90°`). Из него найдем длину бокового ребра `SA` и высоту пирамиды `SO`.Длина бокового ребра `SA` (гипотенуза):$SA = \frac{OA}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{2}}{2\cos(\alpha)}$.Высота пирамиды `SO` (катет):$SO = OA \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{2}}{2}\tan(\alpha)$.

3. Найдём радиус `R` описанной сферы. Как было сказано ранее, это радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника `SAC`. Для равнобедренного треугольника радиус описанной окружности можно найти по формуле $R = \frac{(\text{боковая сторона})^2}{2 \cdot \text{высота}}$.В нашем случае боковая сторона – `SA`, а высота, проведенная к основанию `AC` – это `SO`.$R = \frac{SA^2}{2 \cdot SO} = \frac{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2\cos(\alpha)}\right)^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\tan(\alpha)} = \frac{\frac{2a^2}{4\cos^2(\alpha)}}{a\sqrt{2}\tan(\alpha)} = \frac{\frac{a^2}{2\cos^2(\alpha)}}{a\sqrt{2}\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}$.Упростим выражение:$R = \frac{a^2}{2\cos^2(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{a\sqrt{2}\sin(\alpha)} = \frac{a}{2\sqrt{2}\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$.Применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:$R = \frac{a}{\sqrt{2}\sin(2\alpha)}$.

4. Найдём площадь поверхности сферы `S`. Формула площади сферы: $S = 4\pi R^2$.Подставим найденное значение `R`:$S = 4\pi \left(\frac{a}{\sqrt{2}\sin(2\alpha)}\right)^2 = 4\pi \left(\frac{a^2}{2\sin^2(2\alpha)}\right) = \frac{2\pi a^2}{\sin^2(2\alpha)}$.

Ответ: $\frac{2\pi a^2}{\sin^2(2\alpha)}$

335. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Угол между этой диагональю и плоскостью основания усечённого конуса равен 30°, а радиус меньшего основания — 4 см. Найдите площадь сферы, описанной около данного усечённого конуса.

335. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Угол между этой диагональю и плоскостью основания усечённого конуса равен $30^\circ$, а радиус меньшего основания — 4 см. Найдите площадь сферы, описанной около данного усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Обозначим её $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания (диаметры оснований конуса), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны (образующие конуса). Пусть $r$ — радиус меньшего основания, а $R$ — радиус большего основания. Тогда $AD = 2r$ и $BC = 2R$. В условии сказано, что радиус меньшего основания равен 4 см, но обычно меньшее основание находится сверху. Для удобства расчетов и чертежа будем считать, что $AB$ — диаметр верхнего (меньшего) основания, а $DC$ — диаметр нижнего (большего) основания.

1. Анализ условия и построение.
Пусть осевое сечение — равнобокая трапеция $ABCD$, где $AB$ — верхнее основание, $DC$ — нижнее основание.
Радиус меньшего основания $r = O_1B = 4$ см, тогда $AB = 2r = 8$ см.
Пусть $R$ — радиус большего основания. Тогда $DC = 2R$.
Диагональ осевого сечения — это, например, $AC$. Образующая, лежащая в той же плоскости — $CD$. В условии сказано, что диагональ перпендикулярна образующей. Это может быть истолковано как $AC \perp CD$ или $BD \perp CD$. В силу симметрии трапеции оба варианта приведут к одному результату. Выберем $BD \perp CD$.
Следовательно, треугольник $BCD$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle BDC = 90°$.
Угол между диагональю $BD$ и плоскостью основания — это угол между отрезком $BD$ и его проекцией на плоскость нижнего основания. Проекцией точки $B$ на плоскость нижнего основания является точка $K$ на отрезке $DC$, такая что $BK$ — высота трапеции. Проекцией диагонали $BD$ на плоскость основания будет отрезок $KD$. Однако, по условию угол $\angle BDC = 90°$, что означает, что $CD$ уже лежит в плоскости основания, и угол между $BD$ и $CD$ равен $90°$. Это противоречит условию, что угол равен $30°$.

Вероятно, в условии имелась в виду другая пара: диагональ $AC$ и образующая $AD$ (или $BD$ и $BC$). Пусть диагональ $BD$ перпендикулярна образующей $AD$. Тогда $\angle ADB = 90°$.
Угол между диагональю $BD$ и плоскостью основания — это угол $\angle BDC$, так как $DC$ лежит в плоскости основания. По условию, $\angle BDC = 30°$.

2. Нахождение размеров усечённого конуса.
Рассмотрим треугольник $ABD$. Он прямоугольный ($\angle ADB = 90°$). $AB = 2r = 8$ см.
В трапеции $ABCD$ проведём высоту $AH$ на основание $DC$. В прямоугольном треугольнике $AHD$ отрезок $HD = R-r = R-4$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. В нём $\angle BDH = 30°$.
Пусть $h$ — высота конуса. В трапеции $ABCD$ проведём высоту $BK$ на основание $DC$. $BK = h$.
В $\triangle BKD$: $\tan(30°) = \frac{BK}{KD}$. $KD = KO_2 + O_2D = r+R = 4+R$. $h = BK = KD \tan(30°) = (R+4) \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R+4}{\sqrt{3}}$.

Теперь вернемся к предположению, что диагональ перпендикулярна образующей в вершине на большем основании, то есть $AC \perp CD$. Это невозможно, т.к. угол $ACD$ был бы 90, а по условию он 30.

Наиболее вероятная интерпретация условия, приводящая к решению, такова: диагональ, например, $BD$, перпендикулярна образующей, например, $AD$. То есть $\angle ADB = 90°$. Угол между диагональю $BD$ и плоскостью основания (содержащей $DC$) равен $30°$. Этот угол — $\angle BDC$.
Итак, имеем трапецию $ABCD$ со следующими свойствами:
1. $AB = 2r = 8$ см.
2. $AD = BC$ (образующие, $l$).
3. $\angle ADB = 90°$.
4. $\angle BDC = 30°$.

В треугольнике $ABD$ по теореме синусов:
$\frac{AB}{\sin \angle ADB} = \frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin \angle BAD}$
$\frac{8}{\sin 90°} = \frac{l}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin \angle BAD}$. Отсюда $BD = 8 \sin \angle BAD$.
Трапеция $ABCD$ равнобокая, поэтому $\angle ADC = \angle BCD$. $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 90° + 30° = 120°$. Значит, $\angle BCD = 120°$.
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180°$, поэтому $\angle DAB = \angle CBA = 180° - 120° = 60°$.

Теперь мы можем найти все стороны из $\triangle ABD$:
$\angle BAD = 60°$, $\angle ADB = 90°$. Тогда $\angle ABD = 180° - 90° - 60° = 30°$.
В прямоугольном $\triangle ABD$:
$AD = AB \cdot \cot(30°) = 8 \sqrt{3}$ см. Это длина образующей $l$.
$BD = \frac{AB}{\sin 30°} = \frac{8}{1/2} = 16$ см. Это длина диагонали.

Теперь рассмотрим $\triangle BCD$. Мы знаем стороны $BC=l=8\sqrt{3}$, $BD=16$ и угол $\angle BCD = 120°$. Найдём сторону $DC = 2R$ по теореме косинусов:
$BD^2 = BC^2 + DC^2 - 2 \cdot BC \cdot DC \cdot \cos(120°)$
$16^2 = (8\sqrt{3})^2 + DC^2 - 2 \cdot (8\sqrt{3}) \cdot DC \cdot (-\frac{1}{2})$
$256 = 192 + DC^2 + 8\sqrt{3} \cdot DC$
$DC^2 + 8\sqrt{3} \cdot DC - 64 = 0$.
Решим квадратное уравнение относительно $DC$: $D = (8\sqrt{3})^2 - 4(1)(-64) = 192 + 256 = 448 = 64 \cdot 7$.
$DC = \frac{-8\sqrt{3} + \sqrt{448}}{2} = \frac{-8\sqrt{3} + 8\sqrt{7}}{2} = 4(\sqrt{7} - \sqrt{3})$ см. (Берем только положительный корень, так как длина не может быть отрицательной).
Тогда радиус большего основания $R = \frac{DC}{2} = 2(\sqrt{7} - \sqrt{3})$ см.

3. Нахождение радиуса описанной сферы.
Сфера, описанная около усечённого конуса, является сферой, описанной около его осевого сечения — трапеции $ABCD$. Радиус этой сферы ($R_{сф}$) равен радиусу окружности, описанной около трапеции $ABCD$.
Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около любого треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, $\triangle ABD$.
Треугольник $ABD$ — прямоугольный ($\angle ADB = 90°$). Центр описанной около него окружности лежит на середине гипотенузы $BD$.
Значит, радиус описанной окружности (и сферы) равен:
$R_{сф} = \frac{BD}{2}$
Мы нашли, что $BD = 16$ см.
$R_{сф} = \frac{16}{2} = 8$ см.

4. Вычисление площади сферы.
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R_{сф}^2$.
$S_{сферы} = 4\pi (8)^2 = 4\pi \cdot 64 = 256\pi$ см².

Ответ: $256\pi$ см².