Номер 326, страница 75 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

326. Сторона основания правильной четырёхугольной пи-рамиды равна $4\sqrt{3}$ см, а боковое ребро — $2\sqrt{15}$ см. Найдите объём шара, описанного около данной пира-миды.

326. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $4\sqrt{3}$ см, а боковое ребро $2\sqrt{15}$ см. Найдите объём шара, описанного около данной пирамиды.

Для нахождения объёма шара, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, необходимо найти его радиус R. Объём шара вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Дано: сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $a = 4\sqrt{3}$ см, боковое ребро $l = 2\sqrt{15}$ см.

1. Найдём диагональ основания. Так как в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, его диагональ $d$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.$d = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{6}$ см.

2. Найдём высоту пирамиды $H$. Высота $H$, боковое ребро $l$ и половина диагонали основания ($d/2$) образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой. Половина диагонали равна:$\frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$ см.

Применим теорему Пифагора:$H^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2$$H^2 + (2\sqrt{6})^2 = (2\sqrt{15})^2$$H^2 + 4 \cdot 6 = 4 \cdot 15$$H^2 + 24 = 60$$H^2 = 60 - 24 = 36$$H = \sqrt{36} = 6$ см.

3. Найдём радиус $R$ описанного шара. Центр описанного шара лежит на высоте правильной пирамиды. Радиус шара можно найти по формуле $R = \frac{l^2}{2H}$.Подставим найденные значения $l$ и $H$:$R = \frac{(2\sqrt{15})^2}{2 \cdot 6} = \frac{60}{12} = 5$ см.

4. Вычислим объём шара.$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{500\pi}{3}$ см$^3$.