Номер 324, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

324. Объём правильной треугольной призмы равен $V$. Найдите объём шара, вписанного в эту призму.

324. Объём правильной треугольной призмы равен $V$. Найдите объём шара, вписанного в эту призму.

Пусть $V$ – объём правильной треугольной призмы, а $V_{шара}$ – объём вписанного в неё шара. Обозначим сторону основания призмы как $a$, высоту призмы как $H$, а радиус вписанного шара как $R$.

По определению, правильная треугольная призма имеет в основании равносторонний треугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

Шар, вписанный в призму, касается обоих оснований и всех боковых граней. Это означает, что:

1. Высота призмы $H$ равна диаметру шара, то есть $H = 2R$.
2. Окружность большого круга шара, параллельного основаниям, вписана в равносторонний треугольник, являющийся основанием призмы. Следовательно, радиус шара $R$ равен радиусу окружности, вписанной в основание.

Радиус $R$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Из этой формулы выразим сторону основания $a$ через радиус шара $R$:

$a = 2\sqrt{3}R$

Объём призмы $V$ равен произведению площади основания $S_{осн}$ на высоту $H$:

$V = S_{осн} \cdot H$

Площадь равностороннего треугольника сo стороной $a$ равна:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим выражение для $a$ в формулу площади основания:

$S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3}R)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3 \cdot R^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{12R^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}R^2$

Теперь найдём объём призмы $V$, подставив выражения для $S_{осн}$ и $H = 2R$:

$V = S_{осн} \cdot H = (3\sqrt{3}R^2) \cdot (2R) = 6\sqrt{3}R^3$

Из полученного соотношения выразим $R^3$ через $V$:

$R^3 = \frac{V}{6\sqrt{3}}$

Объём шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим в эту формулу найденное выражение для $R^3$:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{V}{6\sqrt{3}} \right) = \frac{4\pi V}{18\sqrt{3}} = \frac{2\pi V}{9\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$V_{шара} = \frac{2\pi V \cdot \sqrt{3}}{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\pi\sqrt{3}V}{9 \cdot 3} = \frac{2\pi\sqrt{3}V}{27}$

Ответ: $V_{шара} = \frac{2\pi\sqrt{3}V}{27}$