Номер 327, страница 75 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

327. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна $H$, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём шара, вписанного в данную пирамиду.

327. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна $H$, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём шара, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида с высотой $H$ и двугранным углом при рёбрах основания, равным $\alpha$. Необходимо найти объём вписанного в неё шара.

Обозначим пирамиду $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина. Пусть $O$ — центр основания, тогда $SO = H$ — высота пирамиды.

Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте пирамиды $SO$ в силу симметрии. Пусть радиус вписанного шара равен $r$. Расстояние от центра шара $I$ до плоскости основания равно радиусу, то есть $IO = r$. Также расстояние от центра $I$ до любой боковой грани равно $r$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофему $SM$ (где $M$ — середина ребра $CD$) и высоту $SO$. Сечением является прямоугольный треугольник $SOM$ ($\angle O = 90^\circ$). Угол $\angle SMO$ — это линейный угол двугранного угла при ребре основания, следовательно, $\angle SMO = \alpha$.

Центр вписанного шара $I$ лежит на отрезке $SO$. Расстояние от $I$ до апофемы $SM$ (которая лежит в боковой грани $SCD$) также равно $r$. Проведём из точки $I$ перпендикуляр $IK$ к $SM$. Тогда $IK = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SKI$. Его гипотенуза $SI = SO - IO = H - r$. Угол $\angle ISK$ совпадает с углом $\angle OSM$. Из прямоугольного треугольника $SOM$ находим $\angle OSM = 90^\circ - \angle SMO = 90^\circ - \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $SKI$ имеем соотношение:

$\sin(\angle ISK) = \frac{IK}{SI}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\sin(90^\circ - \alpha) = \frac{r}{H - r}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$, приходим к уравнению:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{H - r}$

Решим это уравнение относительно $r$:

$r = (H - r)\cos(\alpha)$

$r = H\cos(\alpha) - r\cos(\alpha)$

$r + r\cos(\alpha) = H\cos(\alpha)$

$r(1 + \cos(\alpha)) = H\cos(\alpha)$

$r = \frac{H\cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}$

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Подставим найденное выражение для $r$:

$V = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{H\cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} \right)^3$

Для упрощения выражения для радиуса воспользуемся формулами половинного угла:

$\cos(\alpha) = \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Тогда:

$r = \frac{H\left(\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)}{2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{H}{2}\left(1 - \frac{\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right) = \frac{H}{2}\left(1 - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Теперь подставим это упрощенное выражение для $r$ в формулу объёма:

$V = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{H}{2}\left(1 - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{H^3}{8}\left(1 - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^3$

$V = \frac{\pi H^3}{6}\left(1 - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^3$

Ответ: $V = \frac{\pi H^3}{6}\left(1 - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^3$