Номер 334, страница 75 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

334. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь сферы, описанной около данной пирамиды.

334. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь сферы, описанной около данной пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадратное основание со стороной $a$, а $S$ – вершина пирамиды. $O$ – центр основания (точка пересечения диагоналей), $SO$ – высота пирамиды.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте. Этот центр совпадает с центром окружности, описанной около диагонального сечения пирамиды, например, треугольника $SAC$. Таким образом, радиус $R$ описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около треугольника $SAC$.

1. Найдём длину диагонали основания $AC$. Так как $ABCD$ – квадрат со стороной $a$, то его диагональ равна:$AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.Проекцией бокового ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $OA$. $OA$ – это половина диагонали $AC$:$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания – это угол $∠SAO$. По условию, $∠SAO = α$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAO$ (угол $∠SOA = 90°$). Из него найдем длину бокового ребра $SA$ и высоту пирамиды $SO$.Длина бокового ребра $SA$ (гипотенуза):$SA = \frac{OA}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{2}}{2\cos(\alpha)}$.Высота пирамиды $SO$ (катет):$SO = OA \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{2}}{2}\tan(\alpha)$.

3. Найдём радиус $R$ описанной сферы. Как было сказано ранее, это радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника $SAC$. Для равнобедренного треугольника радиус описанной окружности можно найти по формуле $R = \frac{(\text{боковая сторона})^2}{2 \cdot \text{высота}}$.В нашем случае боковая сторона – $SA$, а высота, проведенная к основанию $AC$ – это $SO$.$R = \frac{SA^2}{2 \cdot SO} = \frac{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2\cos(\alpha)}\right)^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\tan(\alpha)} = \frac{\frac{2a^2}{4\cos^2(\alpha)}}{a\sqrt{2}\tan(\alpha)} = \frac{\frac{a^2}{2\cos^2(\alpha)}}{a\sqrt{2}\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}$.Упростим выражение:$R = \frac{a^2}{2\cos^2(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{a\sqrt{2}\sin(\alpha)} = \frac{a}{2\sqrt{2}\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$.Применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:$R = \frac{a}{\sqrt{2}\sin(2\alpha)}$.

4. Найдём площадь поверхности сферы $S$. Формула площади сферы: $S = 4\pi R^2$.Подставим найденное значение $R$:$S = 4\pi \left(\frac{a}{\sqrt{2}\sin(2\alpha)}\right)^2 = 4\pi \left(\frac{a^2}{2\sin^2(2\alpha)}\right) = \frac{2\pi a^2}{\sin^2(2\alpha)}$.

Ответ: $\frac{2\pi a^2}{\sin^2(2\alpha)}$