Номер 1, страница 76 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Декартовы координаты точки в пространстве. Вариант 3. Упражнения - номер 1, страница 76.

Условие 2020.

1. Точки $M$, $N$, $K$ и $P$ расположены в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 21. Расстояние от каждой из точек $M$, $N$, $K$ и $P$ до начала координат равно 7. Найдите координаты этих точек.

Рис. 21

Условие 2023.

Рис. 21

1. Точки $M$, $N$, $K$ и $P$ расположены в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 21. Расстояние от каждой из точек $M$, $N$, $K$ и $P$ до начала координат равно 7. Найдите координаты этих точек.

Решение.

Решение 2 (2023).

Расстояние от точки с координатами $(x, y, z)$ до начала координат $(0, 0, 0)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. По условию задачи, для каждой из точек $M, N, K$ и $P$ это расстояние равно 7. Следовательно, для координат каждой точки выполняется равенство $x^2 + y^2 + z^2 = 7^2 = 49$.

Координаты точки M

Точка $M$ расположена на положительной полуоси $Oy$. Это означает, что её координаты по осям $Ox$ и $Oz$ равны нулю, а координата по оси $Oy$ положительна. Таким образом, координаты точки $M$ имеют вид $(0, y_M, 0)$, где $y_M > 0$.

Подставим эти координаты в уравнение расстояния:

$0^2 + y_M^2 + 0^2 = 49$

$y_M^2 = 49$

Поскольку $y_M > 0$, получаем $y_M = 7$.

Ответ: $M(0, 7, 0)$.

Координаты точки K

Точка $K$ расположена на положительной полуоси $Oz$. Её координаты по осям $Ox$ и $Oy$ равны нулю, а координата по оси $Oz$ положительна. Координаты точки $K$ имеют вид $(0, 0, z_K)$, где $z_K > 0$.

Подставим эти координаты в уравнение расстояния:

$0^2 + 0^2 + z_K^2 = 49$

$z_K^2 = 49$

Поскольку $z_K > 0$, получаем $z_K = 7$.

Ответ: $K(0, 0, 7)$.

Координаты точки P

Точка $P$ расположена на отрицательной полуоси $Oz$. Её координаты по осям $Ox$ и $Oy$ равны нулю, а координата по оси $Oz$ отрицательна. Координаты точки $P$ имеют вид $(0, 0, z_P)$, где $z_P < 0$.

Подставим эти координаты в уравнение расстояния:

$0^2 + 0^2 + z_P^2 = 49$

$z_P^2 = 49$

Поскольку $z_P < 0$, получаем $z_P = -7$.

Ответ: $P(0, 0, -7)$.

Координаты точки N

Точка $N$ расположена в плоскости $yOz$ (так как её проекция на ось $Ox$ равна нулю) в четверти, где $y > 0$ и $z > 0$. Из рисунка видно, что точка $N$ лежит на биссектрисе угла между положительными полуосями $Oy$ и $Oz$. Для точек на этой биссектрисе выполняется условие $y = z$.

Таким образом, координаты точки $N$ имеют вид $(0, y_N, z_N)$, где $y_N = z_N > 0$.

Подставим эти координаты в уравнение расстояния:

$0^2 + y_N^2 + z_N^2 = 49$

$y_N^2 + y_N^2 = 49$

$2y_N^2 = 49$

$y_N^2 = \frac{49}{2}$

Поскольку $y_N > 0$, извлекаем квадратный корень: $y_N = \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

Так как $z_N = y_N$, то $z_N = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $N(0, \frac{7\sqrt{2}}{2}, \frac{7\sqrt{2}}{2})$.