Номер 335, страница 75 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

335. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Угол между этой диагональю и плоскостью основания усечённого конуса равен 30°, а радиус меньшего основания — 4 см. Найдите площадь сферы, описанной около данного усечённого конуса.

335. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Угол между этой диагональю и плоскостью основания усечённого конуса равен $30^\circ$, а радиус меньшего основания — 4 см. Найдите площадь сферы, описанной около данного усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Обозначим её $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания (диаметры оснований конуса), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны (образующие конуса). Пусть $r$ — радиус меньшего основания, а $R$ — радиус большего основания. Тогда $AD = 2r$ и $BC = 2R$. В условии сказано, что радиус меньшего основания равен 4 см, но обычно меньшее основание находится сверху. Для удобства расчетов и чертежа будем считать, что $AB$ — диаметр верхнего (меньшего) основания, а $DC$ — диаметр нижнего (большего) основания.

1. Анализ условия и построение.
Пусть осевое сечение — равнобокая трапеция $ABCD$, где $AB$ — верхнее основание, $DC$ — нижнее основание.
Радиус меньшего основания $r = O_1B = 4$ см, тогда $AB = 2r = 8$ см.
Пусть $R$ — радиус большего основания. Тогда $DC = 2R$.
Диагональ осевого сечения — это, например, $AC$. Образующая, лежащая в той же плоскости — $CD$. В условии сказано, что диагональ перпендикулярна образующей. Это может быть истолковано как $AC \perp CD$ или $BD \perp CD$. В силу симметрии трапеции оба варианта приведут к одному результату. Выберем $BD \perp CD$.
Следовательно, треугольник $BCD$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle BDC = 90°$.
Угол между диагональю $BD$ и плоскостью основания — это угол между отрезком $BD$ и его проекцией на плоскость нижнего основания. Проекцией точки $B$ на плоскость нижнего основания является точка $K$ на отрезке $DC$, такая что $BK$ — высота трапеции. Проекцией диагонали $BD$ на плоскость основания будет отрезок $KD$. Однако, по условию угол $\angle BDC = 90°$, что означает, что $CD$ уже лежит в плоскости основания, и угол между $BD$ и $CD$ равен $90°$. Это противоречит условию, что угол равен $30°$.

Вероятно, в условии имелась в виду другая пара: диагональ $AC$ и образующая $AD$ (или $BD$ и $BC$). Пусть диагональ $BD$ перпендикулярна образующей $AD$. Тогда $\angle ADB = 90°$.
Угол между диагональю $BD$ и плоскостью основания — это угол $\angle BDC$, так как $DC$ лежит в плоскости основания. По условию, $\angle BDC = 30°$.

2. Нахождение размеров усечённого конуса.
Рассмотрим треугольник $ABD$. Он прямоугольный ($\angle ADB = 90°$). $AB = 2r = 8$ см.
В трапеции $ABCD$ проведём высоту $AH$ на основание $DC$. В прямоугольном треугольнике $AHD$ отрезок $HD = R-r = R-4$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. В нём $\angle BDH = 30°$.
Пусть $h$ — высота конуса. В трапеции $ABCD$ проведём высоту $BK$ на основание $DC$. $BK = h$.
В $\triangle BKD$: $\tan(30°) = \frac{BK}{KD}$. $KD = KO_2 + O_2D = r+R = 4+R$. $h = BK = KD \tan(30°) = (R+4) \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R+4}{\sqrt{3}}$.

Теперь вернемся к предположению, что диагональ перпендикулярна образующей в вершине на большем основании, то есть $AC \perp CD$. Это невозможно, т.к. угол $ACD$ был бы 90, а по условию он 30.

Наиболее вероятная интерпретация условия, приводящая к решению, такова: диагональ, например, $BD$, перпендикулярна образующей, например, $AD$. То есть $\angle ADB = 90°$. Угол между диагональю $BD$ и плоскостью основания (содержащей $DC$) равен $30°$. Этот угол — $\angle BDC$.
Итак, имеем трапецию $ABCD$ со следующими свойствами:
1. $AB = 2r = 8$ см.
2. $AD = BC$ (образующие, $l$).
3. $\angle ADB = 90°$.
4. $\angle BDC = 30°$.

В треугольнике $ABD$ по теореме синусов:
$\frac{AB}{\sin \angle ADB} = \frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin \angle BAD}$
$\frac{8}{\sin 90°} = \frac{l}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin \angle BAD}$. Отсюда $BD = 8 \sin \angle BAD$.
Трапеция $ABCD$ равнобокая, поэтому $\angle ADC = \angle BCD$. $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 90° + 30° = 120°$. Значит, $\angle BCD = 120°$.
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180°$, поэтому $\angle DAB = \angle CBA = 180° - 120° = 60°$.

Теперь мы можем найти все стороны из $\triangle ABD$:
$\angle BAD = 60°$, $\angle ADB = 90°$. Тогда $\angle ABD = 180° - 90° - 60° = 30°$.
В прямоугольном $\triangle ABD$:
$AD = AB \cdot \cot(30°) = 8 \sqrt{3}$ см. Это длина образующей $l$.
$BD = \frac{AB}{\sin 30°} = \frac{8}{1/2} = 16$ см. Это длина диагонали.

Теперь рассмотрим $\triangle BCD$. Мы знаем стороны $BC=l=8\sqrt{3}$, $BD=16$ и угол $\angle BCD = 120°$. Найдём сторону $DC = 2R$ по теореме косинусов:
$BD^2 = BC^2 + DC^2 - 2 \cdot BC \cdot DC \cdot \cos(120°)$
$16^2 = (8\sqrt{3})^2 + DC^2 - 2 \cdot (8\sqrt{3}) \cdot DC \cdot (-\frac{1}{2})$
$256 = 192 + DC^2 + 8\sqrt{3} \cdot DC$
$DC^2 + 8\sqrt{3} \cdot DC - 64 = 0$.
Решим квадратное уравнение относительно $DC$: $D = (8\sqrt{3})^2 - 4(1)(-64) = 192 + 256 = 448 = 64 \cdot 7$.
$DC = \frac{-8\sqrt{3} + \sqrt{448}}{2} = \frac{-8\sqrt{3} + 8\sqrt{7}}{2} = 4(\sqrt{7} - \sqrt{3})$ см. (Берем только положительный корень, так как длина не может быть отрицательной).
Тогда радиус большего основания $R = \frac{DC}{2} = 2(\sqrt{7} - \sqrt{3})$ см.

3. Нахождение радиуса описанной сферы.
Сфера, описанная около усечённого конуса, является сферой, описанной около его осевого сечения — трапеции $ABCD$. Радиус этой сферы ($R_{сф}$) равен радиусу окружности, описанной около трапеции $ABCD$.
Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около любого треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, $\triangle ABD$.
Треугольник $ABD$ — прямоугольный ($\angle ADB = 90°$). Центр описанной около него окружности лежит на середине гипотенузы $BD$.
Значит, радиус описанной окружности (и сферы) равен:
$R_{сф} = \frac{BD}{2}$
Мы нашли, что $BD = 16$ см.
$R_{сф} = \frac{16}{2} = 8$ см.

4. Вычисление площади сферы.
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R_{сф}^2$.
$S_{сферы} = 4\pi (8)^2 = 4\pi \cdot 64 = 256\pi$ см².

Ответ: $256\pi$ см².