Номер 332, страница 75 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

332. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 30 см, а высота — 36 см. Найдите площадь сферы, вписанной в данную пирамиду.

332. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 30 см, а высота — 36 см. Найдите площадь сферы, вписанной в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона ее основания $a = 30$ см, а высота $H = 36$ см.Центр вписанной в пирамиду сферы лежит на ее высоте. Для нахождения радиуса $r$ вписанной сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофемы боковых граней. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно стороне основания пирамиды $a$, а высота — высоте пирамиды $H$. Вписанная в пирамиду сфера в этом сечении будет выглядеть как круг, вписанный в этот треугольник. Радиус этого круга и будет радиусом $r$ вписанной сферы.

1. Найдем апофему $h_a$ (высоту боковой грани) пирамиды. Апофема является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катеты — это высота пирамиды $H$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора:$h_a = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2}$

Подставим известные значения:$h_a = \sqrt{36^2 + (\frac{30}{2})^2} = \sqrt{36^2 + 15^2} = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39$ см.

2. Теперь у нас есть равнобедренный треугольник (осевое сечение) с основанием $a=30$ см, высотой $H=36$ см и боковыми сторонами, равными апофеме $h_a=39$ см.Радиус вписанной в этот треугольник окружности (и, соответственно, вписанной в пирамиду сферы) можно найти, используя метод подобных треугольников.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и половиной стороны основания $\frac{a}{2}$. Центр вписанной сферы $I$ лежит на высоте $H$. Расстояние от центра $I$ до основания равно радиусу $r$. Тогда расстояние от вершины пирамиды до центра сферы равно $H - r$.Треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания, подобен треугольнику, образованному отрезком $H-r$, радиусом $r$ (проведенным к апофеме) и частью апофемы.

Из подобия треугольников следует соотношение:$\frac{r}{\frac{a}{2}} = \frac{H - r}{h_a}$

Подставим числовые значения:$\frac{r}{15} = \frac{36 - r}{39}$

Решим уравнение относительно $r$:$39r = 15(36 - r)$$39r = 540 - 15r$$39r + 15r = 540$$54r = 540$$r = 10$ см.

3. Найдем площадь поверхности вписанной сферы. Формула для площади поверхности сферы:$S_{сферы} = 4\pi r^2$

Подставим найденное значение радиуса $r=10$ см:$S_{сферы} = 4\pi (10)^2 = 4\pi \cdot 100 = 400\pi$ см².

Ответ: $400\pi$ см².