Номер 325, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

325. Основанием прямой призмы является прямоугольник, стороны которого равны 4 см и $\sqrt{2}$ см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{23}}{3}$. Найдите объём шара, описанного около призмы.

325. Основанием прямой призмы является прямоугольник, стороны которого равны 4 см и $\sqrt{2}$ см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{23}}{3}$. Найдите объём шара, описанного около призмы.

Пусть стороны основания прямой призмы (прямоугольника) равны $a = 4$ см и $b = \sqrt{2}$ см.

Сначала найдем диагональ основания $d$. Так как основанием является прямоугольник, по теореме Пифагора получаем:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

Диагональ призмы $D$, ее проекция на плоскость основания (которая является диагональю основания $d$) и высота призмы $h$ образуют прямоугольный треугольник. Угол $\alpha$, который диагональ призмы образует с плоскостью основания, является углом между катетом $d$ и гипотенузой $D$. Тангенс этого угла определяется как отношение противолежащего катета $h$ к прилежащему катету $d$:
$\tan(\alpha) = \frac{h}{d}$.

Из условия известно, что $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{23}}{3}$. Используя это соотношение, найдем высоту призмы $h$:
$h = d \cdot \tan(\alpha) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{23}}{3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{23} = \sqrt{46}$ см.

Теперь найдем длину диагонали призмы $D$, используя теорему Пифагора для того же прямоугольного треугольника:
$D^2 = d^2 + h^2 = (3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{46})^2 = 18 + 46 = 64$.
$D = \sqrt{64} = 8$ см.

Диаметр шара, описанного около прямой призмы с прямоугольным основанием (то есть около прямоугольного параллелепипеда), равен диагонали этого параллелепипеда. Таким образом, радиус описанного шара $R$ равен половине диагонали призмы $D$:
$R = \frac{D}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Наконец, вычислим объем шара $V$ по формуле:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Подставив найденное значение радиуса, получаем:
$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{256\pi}{3}$ см³.