Номер 317, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

317. Основание равнобедренного треугольника равно $b$, а угол при вершине равен $2\beta$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $c$ от него (рис. 20). Найдите объём тела вращения.

317. Основание равнобедренного треугольника равно $b$, а угол при вершине равен $2\beta$. Этот треугольник вращается вокруг прямой $m$, которая лежит в плоскости треугольника, параллельна его основанию и находится на расстоянии $c$ от него (рис. 20). Найдите объём тела вращения.

Рис. 20

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина. Согласно этой теореме, объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг внешней оси, равен произведению площади этой фигуры $A$ на длину окружности $L$, которую описывает ее центр масс (центроид). Формула для объема: $V = A \cdot L = A \cdot 2\pi r$, где $r$ — расстояние от центра масс фигуры до оси вращения.

1. Нахождение геометрических характеристик треугольника

Дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = b$, а угол при вершине $\angle B = 2\beta$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Следовательно, точка $H$ — середина основания $AC$, поэтому $HC = \frac{b}{2}$. Угол при вершине делится пополам, поэтому $\angle CBH = \beta$.

Из прямоугольного треугольника $BHC$ найдем высоту $h = BH$:

$\mathrm{tg}(\beta) = \frac{HC}{BH} = \frac{b/2}{h}$

Отсюда, $h = \frac{b}{2\mathrm{tg}(\beta)} = \frac{b}{2}\mathrm{ctg}(\beta)$.

Теперь найдем площадь треугольника $A$:

$A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \left(\frac{b}{2}\mathrm{ctg}(\beta)\right) = \frac{b^2}{4}\mathrm{ctg}(\beta)$.

2. Нахождение центра масс и вычисление объема

Центр масс треугольника лежит на пересечении его медиан. В данном случае он находится на высоте $BH$ на расстоянии $\frac{1}{3}$ высоты от основания $AC$. Расстояние от центра масс до основания $AC$ равно:

$d_{G} = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{b}{2}\mathrm{ctg}(\beta) = \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)$.

Ось вращения $m$ параллельна основанию $AC$ и находится на расстоянии $c$ от него. Так как в условии не указано, с какой стороны от основания находится ось, рассмотрим два возможных случая (предполагая, что ось не пересекает треугольник).

Случай 1: Ось вращения $m$ и вершина $B$ находятся по одну сторону от основания $AC$.

Этот случай изображен на рисунке к задаче. Для применимости теоремы Паппа-Гульдина необходимо, чтобы ось вращения не пересекала треугольник, то есть $c > h$. Расстояние $r_1$ от центра масс до оси вращения $m$ равно разности расстояний от оси до основания и от центра масс до основания:

$r_1 = c - d_{G} = c - \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)$.

Объем тела вращения $V_1$ в этом случае:

$V_1 = 2\pi r_1 A = 2\pi \left(c - \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)\right) \left(\frac{b^2}{4}\mathrm{ctg}(\beta)\right) = \frac{\pi b^2}{2}\mathrm{ctg}(\beta)\left(c - \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)\right)$.

Раскрыв скобки, получаем:

$V_1 = \frac{\pi c b^2}{2}\mathrm{ctg}(\beta) - \frac{\pi b^3}{12}\mathrm{ctg}^2(\beta)$.

Случай 2: Ось вращения $m$ и вершина $B$ находятся по разные стороны от основания $AC$.

В этом случае ось вращения не пересекает треугольник при любом $c > 0$. Расстояние $r_2$ от центра масс до оси вращения $m$ равно сумме расстояний от оси до основания и от центра масс до основания:

$r_2 = c + d_{G} = c + \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)$.

Объем тела вращения $V_2$ в этом случае:

$V_2 = 2\pi r_2 A = 2\pi \left(c + \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)\right) \left(\frac{b^2}{4}\mathrm{ctg}(\beta)\right) = \frac{\pi b^2}{2}\mathrm{ctg}(\beta)\left(c + \frac{b}{6}\mathrm{ctg}(\beta)\right)$.

Раскрыв скобки, получаем:

$V_2 = \frac{\pi c b^2}{2}\mathrm{ctg}(\beta) + \frac{\pi b^3}{12}\mathrm{ctg}^2(\beta)$.

Поскольку в условии задачи приведен рисунок, соответствующий первому случаю, он является наиболее вероятным ответом.

Ответ: Объем тела вращения зависит от расположения оси $m$ относительно треугольника.
1. Если ось вращения и вершина $B$ находятся по одну сторону от основания (как на рисунке, при условии $c > \frac{b}{2}\mathrm{ctg}(\beta)$), то объем равен $V = \frac{\pi c b^2}{2}\mathrm{ctg}(\beta) - \frac{\pi b^3}{12}\mathrm{ctg}^2(\beta)$.
2. Если ось вращения и вершина $B$ находятся по разные стороны от основания, то объем равен $V = \frac{\pi c b^2}{2}\mathrm{ctg}(\beta) + \frac{\pi b^3}{12}\mathrm{ctg}^2(\beta)$.