Номер 314, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

314. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как $3 : 7$, а высота равна 8 см. Угол между высотой усечённого конуса и его образующей равен $60^\circ$. Найдите объём усечённого конуса.

314. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как 3 : 7, а высота равна 8 см. Угол между высотой усечённого конуса и его образующей равен $60^\circ$. Найдите объём усечённого конуса.

Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как $r$ и $R$ (где $r$ – радиус меньшего основания, а $R$ – радиус большего основания), высоту – $h$.

Согласно условию задачи:
1. Отношение радиусов: $\frac{r}{R} = \frac{3}{7}$.
2. Высота конуса: $h = 8$ см.
3. Угол между высотой и образующей: $\alpha = 60^\circ$.

Формула для вычисления объема усеченного конуса:
$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$.

Для вычисления объема необходимо найти значения радиусов $R$ и $r$. Из соотношения радиусов введем коэффициент пропорциональности $k$:
$r = 3k$
$R = 7k$

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно имеет форму равнобокой трапеции. Если провести высоту из вершины меньшего основания к большему, образуется прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника являются высота усеченного конуса $h$ и разность радиусов его оснований $(R-r)$. Угол, прилежащий к катету $h$ (угол между высотой и образующей), равен $60^\circ$.

Из этого прямоугольного треугольника можно найти соотношение между катетами через тангенс угла $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{R-r}{h}$

Подставим известные значения $h=8$ и $\alpha=60^\circ$:
$\tan(60^\circ) = \frac{R-r}{8}$
Поскольку $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:
$\sqrt{3} = \frac{R-r}{8}$
$R-r = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь подставим в полученное равенство выражения для $R$ и $r$ через $k$:
$7k - 3k = 8\sqrt{3}$
$4k = 8\sqrt{3}$
$k = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти точные значения радиусов:
$r = 3k = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
$R = 7k = 7 \cdot 2\sqrt{3} = 14\sqrt{3}$ см.

Подставим найденные значения $h$, $r$ и $R$ в формулу для объема усеченного конуса:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot ((14\sqrt{3})^2 + (14\sqrt{3})(6\sqrt{3}) + (6\sqrt{3})^2)$

Выполним вычисления для выражения в скобках:
$R^2 = (14\sqrt{3})^2 = 14^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 196 \cdot 3 = 588$.
$Rr = (14\sqrt{3})(6\sqrt{3}) = 14 \cdot 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 84 \cdot 3 = 252$.
$r^2 = (6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$.

Сумма этих значений:
$R^2 + Rr + r^2 = 588 + 252 + 108 = 948$.

Теперь завершим вычисление объема:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot 948 = \pi \cdot 8 \cdot \frac{948}{3} = \pi \cdot 8 \cdot 316 = 2528\pi$ см$^3$.

Ответ: $2528\pi$ см$^3$.