Номер 311, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

311. Отрезки SA, SB и SC – образующие конуса. Найдите его объём, если $SA = a$, $\angle SAB = \angle SBC = \angle SAC = \alpha$.

311. Отрезки $SA$, $SB$ и $SC$ — образующие конуса. Найдите его объём, если $SA = a$, $\angle SAB = \angle SBC = \angle SAC = \alpha$.

Для нахождения объёма конуса воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — это радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

По условию, SA, SB и SC являются образующими конуса. Это значит, что S — вершина конуса, а точки A, B и C лежат на окружности его основания. Все образующие конуса равны по длине, поэтому $SA = SB = SC = a$.

Рассмотрим треугольники $\triangle SAB$, $\triangle SAC$ и $\triangle SBC$.

1. Треугольник $\triangle SAB$ является равнобедренным, так как $SA = SB = a$. По условию $\angle SAB = \alpha$, следовательно, угол при другом основании также равен $\alpha$, то есть $\angle SBA = \alpha$.

2. Аналогично, треугольник $\triangle SAC$ является равнобедренным ($SA = SC = a$), и из $\angle SAC = \alpha$ следует, что $\angle SCA = \alpha$.

3. Треугольник $\triangle SBC$ также является равнобедренным ($SB = SC = a$), и из $\angle SBC = \alpha$ следует, что $\angle SCB = \alpha$.

Теперь найдем длины сторон треугольника $\triangle ABC$, который лежит в основании конуса. Для этого в каждом из равнобедренных треугольников найдем длину основания. Например, в $\triangle SAB$ длину стороны AB можно найти по теореме косинусов или спроецировав боковые стороны на основание. Длина стороны AB равна $AB = 2 \cdot SA \cdot \cos(\angle SAB) = 2a \cos(\alpha)$.

Аналогично находим длины сторон AC и BC:

$AC = 2a \cos(\alpha)$ (из $\triangle SAC$).

$BC = 2a \cos(\alpha)$ (из $\triangle SBC$).

Так как $AB = BC = AC = 2a \cos(\alpha)$, то треугольник $\triangle ABC$ в основании конуса является равносторонним.

Радиус основания конуса $R$ — это радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника $\triangle ABC$. Для равностороннего треугольника со стороной $s$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{s}{\sqrt{3}}$.

Подставим в эту формулу длину стороны $s = 2a \cos(\alpha)$:

$R = \frac{2a \cos(\alpha)}{\sqrt{3}}$.

Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $a$ образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = a^2$. Отсюда выразим высоту $H$:

$H = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{2a \cos(\alpha)}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{4a^2 \cos^2(\alpha)}{3}}$.

Вынесем $a^2$ за скобки под корнем и приведем к общему знаменателю:

$H = \sqrt{a^2 \left(1 - \frac{4 \cos^2(\alpha)}{3}\right)} = a \sqrt{\frac{3 - 4 \cos^2(\alpha)}{3}} = \frac{a \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{\sqrt{3}}$.

Теперь, имея выражения для $R$ и $H$, мы можем вычислить объём конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2a \cos(\alpha)}{\sqrt{3}}\right)^2 \left(\frac{a \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{\sqrt{3}}\right)$.

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{1}{3} \pi \frac{4a^2 \cos^2(\alpha)}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{\sqrt{3}} = \frac{4 \pi a^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{9\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$V = \frac{4 \pi a^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)} \cdot \sqrt{3}}{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3} \pi a^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{27}$.

Ответ: $V = \frac{4\sqrt{3} \pi a^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{27}$.