Номер 315, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

315. Диагонали осевого сечения усечённого конуса делят- ся точкой пересечения в отношении 5 : 2, а средняя линия этого сечения равна 14 см. Найдите объём усе- чённого конуса, если его образующая равна $6\sqrt{5}$ см.

315. Диагонали осевого сечения усечённого конуса делятся точкой пересечения в отношении 5 : 2, а средняя линия этого сечения равна 14 см. Найдите объём усечённого конуса, если его образующая равна $6\sqrt{5}$ см.

Осевое сечение усечённого конуса является равнобокой трапецией. Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований конуса соответственно ($R > r$), $H$ — его высота, а $l$ — образующая. Основаниями трапеции служат диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), а боковыми сторонами — образующие $l$.

Нахождение радиусов оснований

Средняя линия $m$ осевого сечения (трапеции) по определению равна полусумме её оснований:

$m = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$

По условию $m = 14$ см, следовательно, мы получаем первое уравнение:

$R + r = 14$

Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют два подобных треугольника, прилежащих к основаниям. Отношение их соответственных сторон равно отношению оснований трапеции. По условию, диагонали делятся точкой пересечения в отношении $5:2$. Следовательно, отношение оснований трапеции также равно $5:2$.

$\frac{2R}{2r} = \frac{5}{2}$

Отсюда получаем второе уравнение:

$R = \frac{5}{2}r$

Решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} R + r = 14 \\ R = \frac{5}{2}r \end{cases}$

Подставим выражение для $R$ из второго уравнения в первое:

$\frac{5}{2}r + r = 14$

$\frac{7}{2}r = 14$

$r = 14 \cdot \frac{2}{7} = 4$ см.

Теперь найдём $R$:

$R = 14 - r = 14 - 4 = 10$ см.

Таким образом, радиусы оснований равны $R = 10$ см и $r = 4$ см.

Нахождение высоты конуса

Высоту $H$ усечённого конуса можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота $H$ и разность радиусов оснований $(R-r)$, а гипотенузой — образующая $l$. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + (R-r)^2$

Из условия известно, что образующая $l = 6\sqrt{5}$ см. Подставим известные значения $l$, $R$ и $r$ в формулу:

$(6\sqrt{5})^2 = H^2 + (10-4)^2$

$36 \cdot 5 = H^2 + 6^2$

$180 = H^2 + 36$

$H^2 = 180 - 36 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12$ см.

Вычисление объёма усечённого конуса

Формула для вычисления объёма усечённого конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим все найденные значения $H=12$ см, $R=10$ см, $r=4$ см в формулу:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot (10^2 + 10 \cdot 4 + 4^2)$

$V = 4\pi \cdot (100 + 40 + 16)$

$V = 4\pi \cdot 156$

$V = 624\pi$ см$^3$.

Ответ: $624\pi$ см$^3$.