Номер 309, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

309. Основанием пирамиды является равнобокая трапе-ция, площадь которой равна $36\sqrt{2}$ см$^2$, а острый угол — $45^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём конуса, вписан-ного в данную пирамиду.

309. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, площадь которой равна $36\sqrt{2}$ см², а острый угол — $45^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Для нахождения объёма конуса, вписанного в пирамиду, воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Основанием вписанного конуса является окружность, вписанная в основание пирамиды (равнобокую трапецию). Высота конуса совпадает с высотой пирамиды.

Так как все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Это означает, что в равнобокую трапецию, лежащую в основании, можно вписать окружность.

1. Найдем радиус основания конуса R.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине её высоты: $R = \frac{h_{трап}}{2}$.

Площадь трапеции, в которую можно вписать окружность, можно выразить через её высоту и боковую сторону. Пусть $a$ и $b$ — основания трапеции, $c$ — боковая сторона. Для описанной трапеции справедливо равенство $a+b=2c$. Тогда площадь $S_{трап} = \frac{a+b}{2}h_{трап} = \frac{2c}{2}h_{трап} = c \cdot h_{трап}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h_{трап}$, боковой стороной $c$ и отрезком большего основания. Острый угол в этом треугольнике равен острому углу трапеции, то есть $45°$.

Из соотношений в этом треугольнике имеем: $\sin(45°) = \frac{h_{трап}}{c}$.

Отсюда выразим боковую сторону: $c = \frac{h_{трап}}{\sin(45°)} = \frac{h_{трап}}{\sqrt{2}/2} = h_{трап}\sqrt{2}$.

Подставим это выражение в формулу площади: $S_{трап} = (h_{трап}\sqrt{2}) \cdot h_{трап} = h_{трап}^2\sqrt{2}$.

По условию задачи, площадь трапеции равна $36\sqrt{2}$ см². Составим уравнение:

$h_{трап}^2\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$

$h_{трап}^2 = 36$

$h_{трап} = 6$ см.

Теперь можем найти радиус основания конуса:

$R = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

2. Найдем высоту конуса H.

Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $R$ и апофемой боковой грани. В этом треугольнике $H$ и $R$ являются катетами. Угол между апофемой и радиусом, проведённым в точку касания, является линейным углом двугранного угла при ребре основания и по условию равен $30°$.

Из этого треугольника находим соотношение: $\tan(30°) = \frac{H}{R}$.

Выразим высоту $H$:

$H = R \cdot \tan(30°) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

3. Найдем объём конуса.

Подставим найденные значения $R=3$ см и $H=\sqrt{3}$ см в формулу объёма конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot \sqrt{3} = 3\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $3\pi\sqrt{3}$ см³.