Номер 303, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

303. Через две образующие конуса проведено сечение, пересекающее основание по хорде длиной 8 см. Эта хорда видна из центра основания конуса под углом $90^\circ$. Найдите объём конуса, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол $45^\circ$.

303. Через две образующие конуса проведено сечение, пересекающее основание по хорде длиной 8 см. Эта хорда видна из центра основания конуса под углом $90^{\circ}$. Найдите объём конуса, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол $45^{\circ}$.

Пусть дан конус с вершиной $S$ и центром основания $O$. Сечение конуса представляет собой треугольник $SAB$, где $AB$ - хорда в основании конуса.

По условию, длина хорды $AB = 8$ см. Эта хорда видна из центра основания $O$ под углом $90^\circ$, то есть $\angle AOB = 90^\circ$. Рассмотрим треугольник $AOB$ в основании конуса. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами основания ($OA = OB = R$), треугольник $AOB$ - равнобедренный. Учитывая, что угол при вершине равен $90^\circ$, он является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Применим к треугольнику $AOB$ теорему Пифагора, чтобы найти радиус основания $R$: $OA^2 + OB^2 = AB^2$ $R^2 + R^2 = 8^2$ $2R^2 = 64$ $R^2 = 32$ см²

Плоскость сечения $(SAB)$ образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Угол между плоскостями измеряется линейным углом, который образуется перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения (в данном случае, к хорде $AB$).

Пусть $M$ - середина хорды $AB$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ медиана $OM$ является также и высотой, следовательно, $OM \perp AB$. В равнобедренном треугольнике $SAB$ (поскольку $SA = SB$ как образующие конуса) медиана $SM$ также является высотой, следовательно, $SM \perp AB$.

Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания, и по условию $\angle SMO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. Он является прямоугольным, так как высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и отрезку $OM$, лежащему в этой плоскости ($\angle SOM = 90^\circ$).

Найдем длину отрезка $OM$. Из прямоугольного треугольника $AOM$ (где $AM = AB/2 = 4$ см, а $OA = R$) по теореме Пифагора: $OM^2 = OA^2 - AM^2 = R^2 - 4^2 = 32 - 16 = 16$ $OM = \sqrt{16} = 4$ см.

В прямоугольном треугольнике $SOM$ известны катет $OM = 4$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle SMO = 45^\circ$. Высоту конуса $H = SO$ можно найти через тангенс этого угла: $\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} \implies \tan(45^\circ) = \frac{H}{4}$ Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем: $1 = \frac{H}{4} \implies H = 4$ см.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Подставим найденные значения $R^2 = 32$ и $H = 4$: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 32 \cdot 4 = \frac{128\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{128\pi}{3}$ см³.