Номер 305, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

305. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей сторону длиной 14 см. Найдите объём тела вращения.

305. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей сторону длиной 14 см. Найдите объём тела вращения.

При вращении треугольника вокруг прямой, содержащей одну из его сторон, образуется тело вращения, которое состоит из двух конусов с общим основанием.

Радиусом $R$ общего основания этих конусов является высота треугольника $h$, проведенная к стороне, вокруг которой происходит вращение. В данном случае, это высота, опущенная на сторону длиной 14 см.

Сумма высот этих двух конусов ($H_1 + H_2$) равна длине стороны, вокруг которой происходит вращение, то есть 14 см.

Объём тела вращения $V$ будет равен сумме объёмов двух конусов:

$ V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 H_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 H_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (H_1 + H_2) $

Для решения задачи нам нужно найти радиус $R$, то есть высоту треугольника, опущенную на сторону 14 см.

Мы можем найти высоту, предварительно вычислив площадь треугольника по формуле Герона: $ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$ p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 $ см.

2. Вычислим площадь $S$:
$ S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} $
$ S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84 $ см².

3. Теперь найдём высоту $h$, опущенную на сторону длиной 14 см, используя формулу площади $ S = \frac{1}{2}ah $:
$ 84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h $
$ 84 = 7h $
$ h = \frac{84}{7} = 12 $ см.

Таким образом, радиус основания конусов $R = h = 12$ см.

Теперь, зная радиус $R=12$ см и сумму высот конусов $H_1 + H_2 = 14$ см, мы можем вычислить объём тела вращения по формуле, выведенной ранее:

$ V = \frac{1}{3}\pi R^2 (H_1 + H_2) $
$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 14 $
$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 14 $
$ V = \pi \cdot \frac{144}{3} \cdot 14 $
$ V = \pi \cdot 48 \cdot 14 $
$ V = 672\pi $ см³.

Ответ: $672\pi$ см³.