Номер 299, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

299. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6 см, а прилежащий к нему угол — $60^\circ$. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

299. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6 см, а прилежащий к нему угол — $60^\circ$. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

Решение

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. Катет, вокруг которого происходит вращение, является высотой конуса (H), а другой катет — радиусом его основания (R).

По условию задачи, один из катетов равен 6 см. Прямая, содержащая этот катет, является осью вращения. Следовательно, высота конуса $H = 6$ см.

Прилежащий к этому катету (высоте) угол равен 60°. В прямоугольном треугольнике, который является осевым сечением конуса, этот угол находится между высотой H и образующей. Второй катет (радиус R) является противолежащим катетом для этого угла. Найдем радиус основания R, используя тангенс угла:

$ \tan(60^\circ) = \frac{R}{H} $

Выразим R:

$ R = H \cdot \tan(60^\circ) $

Мы знаем, что $ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $. Подставим значения H и тангенса:

$ R = 6 \cdot \sqrt{3} $ см.

Теперь, когда у нас есть высота и радиус, мы можем найти объём конуса (V) по формуле:

$ V = \frac{1}{3} \pi R^2 H $

Подставим наши значения в формулу:

$ V = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{3})^2 \cdot 6 $

$ V = \frac{1}{3} \pi (36 \cdot 3) \cdot 6 $

$ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 108 \cdot 6 $

$ V = \pi \cdot 36 \cdot 6 $

$ V = 216\pi $ см³.

Ответ: $216\pi$ см³.